Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27357 / 6821
↖ ↑ ↗
← N 80.498579°
W 29.723511°		 ← 100.83 m → N 80.498579°
W 29.718017°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 80.497673°
W 29.723511°		 ← 100.84 m →
10 164 m²		 N 80.497673°
W 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417442321777344 y=0.104087829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417442321777344 × 216)
    floor (0.417442321777344 × 65536)
    floor (27357.5)     		tx = 27357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104087829589844 × 216)
    floor (0.104087829589844 × 65536)
    floor (6821.5)     		ty = 6821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27357 / 6821 ti = "16/27357/6821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27357/6821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27357 ÷ 216
    27357 ÷ 65536     		x = 0.417434692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6821 ÷ 216
    6821 ÷ 65536     		y = 0.104080200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417434692382812 × 2 - 1) × π
    -0.165130615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51877313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104080200195312 × 2 - 1) × π
    0.791839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48763746888319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51877313} λ = -0.51877313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48763746888319))-π/2
    2×atan(12.0328146141372)-π/2
    2×1.48788078966881-π/2
    2.97576157933762-1.57079632675     		φ = 1.40496525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51877313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.723511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40496525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.498579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27357 KachelY 6821 -0.51877313 1.40496525 -29.723511 80.498579
    Oben rechts KachelX + 1 27358 KachelY 6821 -0.51867725 1.40496525 -29.718017 80.498579
    Unten links KachelX 27357 KachelY + 1 6822 -0.51877313 1.40494943 -29.723511 80.497673
    Unten rechts KachelX + 1 27358 KachelY + 1 6822 -0.51867725 1.40494943 -29.718017 80.497673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40496525-1.40494943) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40496525-1.40494943) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51877313--0.51867725) × cos(1.40496525) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.165072063577693 × 6371000     		do = 100.834514343139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51877313--0.51867725) × cos(1.40494943) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.165087666530499 × 6371000     		du = 100.844045429953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40496525)-sin(1.40494943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165072063577693-0.165087666530499)×R²
    abs(-0.51867725--0.51877313)×1.56029528058654e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.56029528058654e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.56029528058654e-05×40589641000000     		ar = 10163.5123651006m²