Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27356 / 6311
↖ ↑ ↗
← N 80.950053°
W 29.729004°		 ← 96.07 m → N 80.950053°
W 29.723511°		 →
↑
96.14 m
↓
↑
96.14 m
↓
N 80.949188°
W 29.729004°		 ← 96.08 m →
9 237 m²		 N 80.949188°
W 29.723511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417427062988281 y=0.0963058471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417427062988281 × 216)
    floor (0.417427062988281 × 65536)
    floor (27356.5)     		tx = 27356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963058471679688 × 216)
    floor (0.0963058471679688 × 65536)
    floor (6311.5)     		ty = 6311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27356 / 6311 ti = "16/27356/6311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27356/6311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27356 ÷ 216
    27356 ÷ 65536     		x = 0.41741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6311 ÷ 216
    6311 ÷ 65536     		y = 0.0962982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0962982177734375 × 2 - 1) × π
    0.807403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53653310649565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51886900} λ = -0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53653310649565))-π/2
    2×atan(12.6357880146294)-π/2
    2×1.49182063642913-π/2
    2.98364127285827-1.57079632675     		φ = 1.41284495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41284495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.950053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27356 KachelY 6311 -0.51886900 1.41284495 -29.729004 80.950053
    Oben rechts KachelX + 1 27357 KachelY 6311 -0.51877313 1.41284495 -29.723511 80.950053
    Unten links KachelX 27356 KachelY + 1 6312 -0.51886900 1.41282986 -29.729004 80.949188
    Unten rechts KachelX + 1 27357 KachelY + 1 6312 -0.51877313 1.41282986 -29.723511 80.949188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41284495-1.41282986) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dl = 96.1383899999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41284495-1.41282986) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dr = 96.1383899999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51886900--0.51877313) × cos(1.41284495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15729541698972 × 6371000     		do = 96.0741169743692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51886900--0.51877313) × cos(1.41282986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157310319125372 × 6371000     		du = 96.0832190165721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41284495)-sin(1.41282986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15729541698972-0.157310319125372)×R²
    abs(-0.51877313--0.51886900)×1.49021356516954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49021356516954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49021356516954e-05×40589641000000     		ar = 9236.84845447983m²