Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27353 / 6329
↖ ↑ ↗
← N 80.934487°
W 29.745483°		 ← 96.24 m → N 80.934487°
W 29.739990°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
N 80.933621°
W 29.745483°		 ← 96.25 m →
9 265 m²		 N 80.933621°
W 29.739990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417381286621094 y=0.0965805053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417381286621094 × 216)
    floor (0.417381286621094 × 65536)
    floor (27353.5)     		tx = 27353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0965805053710938 × 216)
    floor (0.0965805053710938 × 65536)
    floor (6329.5)     		ty = 6329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27353 / 6329 ti = "16/27353/6329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27353/6329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27353 ÷ 216
    27353 ÷ 65536     		x = 0.417373657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6329 ÷ 216
    6329 ÷ 65536     		y = 0.0965728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417373657226562 × 2 - 1) × π
    -0.165252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51915662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0965728759765625 × 2 - 1) × π
    0.806854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53480737810933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51915662} λ = -0.51915662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53480737810933))-π/2
    2×atan(12.6140008813133)-π/2
    2×1.49168479612462-π/2
    2.98336959224925-1.57079632675     		φ = 1.41257327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51915662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.745483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41257327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.934487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27353 KachelY 6329 -0.51915662 1.41257327 -29.745483 80.934487
    Oben rechts KachelX + 1 27354 KachelY 6329 -0.51906075 1.41257327 -29.739990 80.934487
    Unten links KachelX 27353 KachelY + 1 6330 -0.51915662 1.41255816 -29.745483 80.933621
    Unten rechts KachelX + 1 27354 KachelY + 1 6330 -0.51906075 1.41255816 -29.739990 80.933621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41257327-1.41255816) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dl = 96.2658100006109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41257327-1.41255816) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dr = 96.2658100006109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51915662--0.51906075) × cos(1.41257327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157563709198624 × 6371000     		do = 96.2379865743537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51915662--0.51906075) × cos(1.41255816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157578630438967 × 6371000     		du = 96.2471002854689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41257327)-sin(1.41255816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157563709198624-0.157578630438967)×R²
    abs(-0.51906075--0.51915662)×1.49212403438015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49212403438015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49212403438015e-05×40589641000000     		ar = 9264.86640018235m²