Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27352 / 7528
↖ ↑ ↗
← N 79.835594°
W 29.750977°		 ← 107.80 m → N 79.835594°
W 29.745483°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 79.834625°
W 29.750977°		 ← 107.81 m →
11 621 m²		 N 79.834625°
W 29.745483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417366027832031 y=0.114875793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417366027832031 × 216)
    floor (0.417366027832031 × 65536)
    floor (27352.5)     		tx = 27352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114875793457031 × 216)
    floor (0.114875793457031 × 65536)
    floor (7528.5)     		ty = 7528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27352 / 7528 ti = "16/27352/7528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27352/7528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27352 ÷ 216
    27352 ÷ 65536     		x = 0.4173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7528 ÷ 216
    7528 ÷ 65536     		y = 0.1148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1148681640625 × 2 - 1) × π
    0.770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41985469282043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51925250} λ = -0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41985469282043))-π/2
    2×atan(11.2442253295008)-π/2
    2×1.48209515251849-π/2
    2.96419030503699-1.57079632675     		φ = 1.39339398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39339398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.835594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27352 KachelY 7528 -0.51925250 1.39339398 -29.750977 79.835594
    Oben rechts KachelX + 1 27353 KachelY 7528 -0.51915662 1.39339398 -29.745483 79.835594
    Unten links KachelX 27352 KachelY + 1 7529 -0.51925250 1.39337706 -29.750977 79.834625
    Unten rechts KachelX + 1 27353 KachelY + 1 7529 -0.51915662 1.39337706 -29.745483 79.834625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39339398-1.39337706) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39339398-1.39337706) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51925250--0.51915662) × cos(1.39339398) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176473287550408 × 6371000     		do = 107.798968880686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51925250--0.51915662) × cos(1.39337706) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176489941973015 × 6371000     		du = 107.809142259385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39339398)-sin(1.39337706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176473287550408-0.176489941973015)×R²
    abs(-0.51915662--0.51925250)×1.66544226074261e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.66544226074261e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.66544226074261e-05×40589641000000     		ar = 11620.9882756866m²