Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27352 / 42695
↖ ↑ ↗
← S 47.779943°
W 29.750977°		 ← 410.48 m → S 47.779943°
W 29.745483°		 →
↑
410.42 m
↓
↑
410.42 m
↓
S 47.783634°
W 29.750977°		 ← 410.45 m →
168 463 m²		 S 47.783634°
W 29.745483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417366027832031 y=0.651481628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417366027832031 × 216)
    floor (0.417366027832031 × 65536)
    floor (27352.5)     		tx = 27352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651481628417969 × 216)
    floor (0.651481628417969 × 65536)
    floor (42695.5)     		ty = 42695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27352 / 42695 ti = "16/27352/42695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27352/42695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27352 ÷ 216
    27352 ÷ 65536     		x = 0.4173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42695 ÷ 216
    42695 ÷ 65536     		y = 0.651473999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651473999023438 × 2 - 1) × π
    -0.302947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.951739205056595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51925250} λ = -0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951739205056595))-π/2
    2×atan(0.386068986085712)-π/2
    2×0.36843949841686-π/2
    0.736878996833719-1.57079632675     		φ = -0.83391733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83391733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.779943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27352 KachelY 42695 -0.51925250 -0.83391733 -29.750977 -47.779943
    Oben rechts KachelX + 1 27353 KachelY 42695 -0.51915662 -0.83391733 -29.745483 -47.779943
    Unten links KachelX 27352 KachelY + 1 42696 -0.51925250 -0.83398175 -29.750977 -47.783634
    Unten rechts KachelX + 1 27353 KachelY + 1 42696 -0.51915662 -0.83398175 -29.745483 -47.783634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83391733--0.83398175) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dl = 410.419819999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83391733--0.83398175) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dr = 410.419819999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51925250--0.51915662) × cos(-0.83391733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		do = 410.479897282323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51925250--0.51915662) × cos(-0.83398175) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.671932159752895 × 6371000     		du = 410.450754244858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83391733)-sin(-0.83398175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671979868628814-0.671932159752895)×R²
    abs(-0.51915662--0.51925250)×4.77088759190947e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77088759190947e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77088759190947e-05×40589641000000     		ar = 168463.105174217m²