Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2735 / 1777
↖ ↑ ↗
← N 80.234775°
W119.904785°		 ← 414.41 m → N 80.234775°
W119.882812°		 →
↑
414.50 m
↓
↑
414.50 m
↓
N 80.231047°
W119.904785°		 ← 414.56 m →
171 803 m²		 N 80.231047°
W119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166961669921875 y=0.108489990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166961669921875 × 214)
    floor (0.166961669921875 × 16384)
    floor (2735.5)     		tx = 2735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108489990234375 × 214)
    floor (0.108489990234375 × 16384)
    floor (1777.5)     		ty = 1777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2735 / 1777 ti = "14/2735/1777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2735/1777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2735 ÷ 214
    2735 ÷ 16384     		x = 0.16693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1777 ÷ 214
    1777 ÷ 16384     		y = 0.10845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.6661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09273329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10845947265625 × 2 - 1) × π
    0.7830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46012168850128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09273329} λ = -2.09273329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46012168850128))-π/2
    2×atan(11.7062359676214)-π/2
    2×1.48557865765726-π/2
    2.97115731531452-1.57079632675     		φ = 1.40036099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09273329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.904785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40036099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.234775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2735 KachelY 1777 -2.09273329 1.40036099 -119.904785 80.234775
    Oben rechts KachelX + 1 2736 KachelY 1777 -2.09234979 1.40036099 -119.882812 80.234775
    Unten links KachelX 2735 KachelY + 1 1778 -2.09273329 1.40029593 -119.904785 80.231047
    Unten rechts KachelX + 1 2736 KachelY + 1 1778 -2.09234979 1.40029593 -119.882812 80.231047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40036099-1.40029593) × R
    6.50600000000612e-05 × 6371000     		dl = 414.49726000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40036099-1.40029593) × R
    6.50600000000612e-05 × 6371000     		dr = 414.49726000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09273329--2.09234979) × cos(1.40036099) × R
    0.00038349999999987 × 0.169611394335408 × 6371000     		do = 414.407873134585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09273329--2.09234979) × cos(1.40029593) × R
    0.00038349999999987 × 0.169675511323503 × 6371000     		du = 414.56452879308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40036099)-sin(1.40029593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169611394335408-0.169675511323503)×R²
    abs(-2.09234979--2.09273329)×6.41169880944148e-05×R²
    0.00038349999999987×6.41169880944148e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.41169880944148e-05×40589641000000     		ar = 171803.394667408m²