Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2735 / 1140
↖ ↑ ↗
← N 82.344100°
W119.904785°		 ← 325.50 m → N 82.344100°
W119.882812°		 →
↑
325.56 m
↓
↑
325.56 m
↓
N 82.341172°
W119.904785°		 ← 325.63 m →
105 990 m²		 N 82.341172°
W119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166961669921875 y=0.069610595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166961669921875 × 214)
    floor (0.166961669921875 × 16384)
    floor (2735.5)     		tx = 2735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.069610595703125 × 214)
    floor (0.069610595703125 × 16384)
    floor (1140.5)     		ty = 1140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2735 / 1140 ti = "14/2735/1140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2735/1140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2735 ÷ 214
    2735 ÷ 16384     		x = 0.16693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1140 ÷ 214
    1140 ÷ 16384     		y = 0.069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.6661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09273329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.069580078125 × 2 - 1) × π
    0.86083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.70440812896509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09273329} λ = -2.09273329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70440812896509))-π/2
    2×atan(14.9454682824466)-π/2
    2×1.50398599574719-π/2
    3.00797199149437-1.57079632675     		φ = 1.43717566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09273329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.904785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43717566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.344100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2735 KachelY 1140 -2.09273329 1.43717566 -119.904785 82.344100
    Oben rechts KachelX + 1 2736 KachelY 1140 -2.09234979 1.43717566 -119.882812 82.344100
    Unten links KachelX 2735 KachelY + 1 1141 -2.09273329 1.43712456 -119.904785 82.341172
    Unten rechts KachelX + 1 2736 KachelY + 1 1141 -2.09234979 1.43712456 -119.882812 82.341172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43717566-1.43712456) × R
    5.11000000000816e-05 × 6371000     		dl = 325.55810000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43717566-1.43712456) × R
    5.11000000000816e-05 × 6371000     		dr = 325.55810000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09273329--2.09234979) × cos(1.43717566) × R
    0.00038349999999987 × 0.133223400298578 × 6371000     		do = 325.501869646298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09273329--2.09234979) × cos(1.43712456) × R
    0.00038349999999987 × 0.133274044620926 × 6371000     		du = 325.625607830238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43717566)-sin(1.43712456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133223400298578-0.133274044620926)×R²
    abs(-2.09234979--2.09273329)×5.06443223479425e-05×R²
    0.00038349999999987×5.06443223479425e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.06443223479425e-05×40589641000000     		ar = 105989.912235458m²