Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27349 / 42686
↖ ↑ ↗
← S 47.746711°
W 29.767456°		 ← 410.74 m → S 47.746711°
W 29.761963°		 →
↑
410.67 m
↓
↑
410.67 m
↓
S 47.750405°
W 29.767456°		 ← 410.71 m →
168 675 m²		 S 47.750405°
W 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417320251464844 y=0.651344299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417320251464844 × 216)
    floor (0.417320251464844 × 65536)
    floor (27349.5)     		tx = 27349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651344299316406 × 216)
    floor (0.651344299316406 × 65536)
    floor (42686.5)     		ty = 42686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27349 / 42686 ti = "16/27349/42686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27349/42686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27349 ÷ 216
    27349 ÷ 65536     		x = 0.417312622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42686 ÷ 216
    42686 ÷ 65536     		y = 0.651336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417312622070312 × 2 - 1) × π
    -0.165374755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51954012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.30267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950876340863434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51954012} λ = -0.51954012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950876340863434))-π/2
    2×atan(0.386402254952103)-π/2
    2×0.368729504732922-π/2
    0.737459009465844-1.57079632675     		φ = -0.83333732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51954012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.767456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83333732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.746711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27349 KachelY 42686 -0.51954012 -0.83333732 -29.767456 -47.746711
    Oben rechts KachelX + 1 27350 KachelY 42686 -0.51944424 -0.83333732 -29.761963 -47.746711
    Unten links KachelX 27349 KachelY + 1 42687 -0.51954012 -0.83340178 -29.767456 -47.750405
    Unten rechts KachelX + 1 27350 KachelY + 1 42687 -0.51944424 -0.83340178 -29.761963 -47.750405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83333732--0.83340178) × R
    6.44599999999329e-05 × 6371000     		dl = 410.674659999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83333732--0.83340178) × R
    6.44599999999329e-05 × 6371000     		dr = 410.674659999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51954012--0.51944424) × cos(-0.83333732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.672409293239325 × 6371000     		do = 410.742211941202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51954012--0.51944424) × cos(-0.83340178) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.672361579869644 × 6371000     		du = 410.713066158716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83333732)-sin(-0.83340178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672409293239325-0.672361579869644)×R²
    abs(-0.51944424--0.51954012)×4.77133696814569e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77133696814569e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77133696814569e-05×40589641000000     		ar = 168675.433578008m²