Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27348 / 7527
↖ ↑ ↗
← N 79.836564°
W 29.772949°		 ← 107.78 m → N 79.836564°
W 29.767456°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 79.835594°
W 29.772949°		 ← 107.79 m →
11 619 m²		 N 79.835594°
W 29.767456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417304992675781 y=0.114860534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417304992675781 × 216)
    floor (0.417304992675781 × 65536)
    floor (27348.5)     		tx = 27348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114860534667969 × 216)
    floor (0.114860534667969 × 65536)
    floor (7527.5)     		ty = 7527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27348 / 7527 ti = "16/27348/7527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27348/7527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27348 ÷ 216
    27348 ÷ 65536     		x = 0.41729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7527 ÷ 216
    7527 ÷ 65536     		y = 0.114852905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51963599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114852905273438 × 2 - 1) × π
    0.770294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41995056661967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51963599} λ = -0.51963599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41995056661967))-π/2
    2×atan(11.2453034077815)-π/2
    2×1.4821036117017-π/2
    2.9642072234034-1.57079632675     		φ = 1.39341090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51963599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.772949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39341090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.836564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27348 KachelY 7527 -0.51963599 1.39341090 -29.772949 79.836564
    Oben rechts KachelX + 1 27349 KachelY 7527 -0.51954012 1.39341090 -29.767456 79.836564
    Unten links KachelX 27348 KachelY + 1 7528 -0.51963599 1.39339398 -29.772949 79.835594
    Unten rechts KachelX + 1 27349 KachelY + 1 7528 -0.51954012 1.39339398 -29.767456 79.835594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39341090-1.39339398) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39341090-1.39339398) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51963599--0.51954012) × cos(1.39341090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176456633077279 × 6371000     		do = 107.777553418977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51963599--0.51954012) × cos(1.39339398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176473287550408 × 6371000     		du = 107.78772576748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39341090)-sin(1.39339398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176456633077279-0.176473287550408)×R²
    abs(-0.51954012--0.51963599)×1.66544731293183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66544731293183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66544731293183e-05×40589641000000     		ar = 11618.6796912235m²