Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27347 / 7027
↖ ↑ ↗
← N 80.309955°
W 29.778443°		 ← 102.82 m → N 80.309955°
W 29.772949°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
N 80.309030°
W 29.778443°		 ← 102.83 m →
10 573 m²		 N 80.309030°
W 29.772949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417289733886719 y=0.107231140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417289733886719 × 216)
    floor (0.417289733886719 × 65536)
    floor (27347.5)     		tx = 27347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107231140136719 × 216)
    floor (0.107231140136719 × 65536)
    floor (7027.5)     		ty = 7027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27347 / 7027 ti = "16/27347/7027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27347/7027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27347 ÷ 216
    27347 ÷ 65536     		x = 0.417282104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7027 ÷ 216
    7027 ÷ 65536     		y = 0.107223510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417282104492188 × 2 - 1) × π
    -0.165435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51973187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107223510742188 × 2 - 1) × π
    0.785552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46788746623973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51973187} λ = -0.51973187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46788746623973))-π/2
    2×atan(11.7974978955778)-π/2
    2×1.48623472593604-π/2
    2.97246945187209-1.57079632675     		φ = 1.40167313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51973187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.778443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40167313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.309955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27347 KachelY 7027 -0.51973187 1.40167313 -29.778443 80.309955
    Oben rechts KachelX + 1 27348 KachelY 7027 -0.51963599 1.40167313 -29.772949 80.309955
    Unten links KachelX 27347 KachelY + 1 7028 -0.51973187 1.40165699 -29.778443 80.309030
    Unten rechts KachelX + 1 27348 KachelY + 1 7028 -0.51963599 1.40165699 -29.772949 80.309030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40167313-1.40165699) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40167313-1.40165699) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51973187--0.51963599) × cos(1.40167313) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.168318120262869 × 6371000     		do = 102.817372873324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51973187--0.51963599) × cos(1.40165699) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.168334029967169 × 6371000     		du = 102.827091339742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40167313)-sin(1.40165699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168318120262869-0.168334029967169)×R²
    abs(-0.51963599--0.51973187)×1.59097043004874e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.59097043004874e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.59097043004874e-05×40589641000000     		ar = 10572.9983137004m²