Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27345 / 6832
↖ ↑ ↗
← N 80.488600°
W 29.789429°		 ← 100.93 m → N 80.488600°
W 29.783936°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
N 80.487692°
W 29.789429°		 ← 100.94 m →
10 192 m²		 N 80.487692°
W 29.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417259216308594 y=0.104255676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417259216308594 × 216)
    floor (0.417259216308594 × 65536)
    floor (27345.5)     		tx = 27345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104255676269531 × 216)
    floor (0.104255676269531 × 65536)
    floor (6832.5)     		ty = 6832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27345 / 6832 ti = "16/27345/6832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27345/6832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27345 ÷ 216
    27345 ÷ 65536     		x = 0.417251586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6832 ÷ 216
    6832 ÷ 65536     		y = 0.104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417251586914062 × 2 - 1) × π
    -0.165496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51992361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    0.79150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48658285709155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51992361} λ = -0.51992361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48658285709155))-π/2
    2×atan(12.0201313550913)-π/2
    2×1.48779370091364-π/2
    2.97558740182727-1.57079632675     		φ = 1.40479108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51992361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.789429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40479108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.488600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27345 KachelY 6832 -0.51992361 1.40479108 -29.789429 80.488600
    Oben rechts KachelX + 1 27346 KachelY 6832 -0.51982774 1.40479108 -29.783936 80.488600
    Unten links KachelX 27345 KachelY + 1 6833 -0.51992361 1.40477523 -29.789429 80.487692
    Unten rechts KachelX + 1 27346 KachelY + 1 6833 -0.51982774 1.40477523 -29.783936 80.487692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40479108-1.40477523) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dl = 100.980350000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40479108-1.40477523) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dr = 100.980350000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51992361--0.51982774) × cos(1.40479108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165243841723398 × 6371000     		do = 100.928917592465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51992361--0.51982774) × cos(1.40477523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165259473808615 × 6371000     		du = 100.938465478935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40479108)-sin(1.40477523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165243841723398-0.165259473808615)×R²
    abs(-0.51982774--0.51992361)×1.56320852170433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56320852170433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56320852170433e-05×40589641000000     		ar = 10192.3194982857m²