Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27344 / 6993
↖ ↑ ↗
← N 80.341340°
W 29.794922°		 ← 102.49 m → N 80.341340°
W 29.789429°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
N 80.340419°
W 29.794922°		 ← 102.50 m →
10 500 m²		 N 80.340419°
W 29.789429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417243957519531 y=0.106712341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417243957519531 × 216)
    floor (0.417243957519531 × 65536)
    floor (27344.5)     		tx = 27344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106712341308594 × 216)
    floor (0.106712341308594 × 65536)
    floor (6993.5)     		ty = 6993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27344 / 6993 ti = "16/27344/6993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27344/6993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27344 ÷ 216
    27344 ÷ 65536     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6993 ÷ 216
    6993 ÷ 65536     		y = 0.106704711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106704711914062 × 2 - 1) × π
    0.786590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47114717541389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47114717541389))-π/2
    2×atan(11.8360170542198)-π/2
    2×1.48650861971694-π/2
    2.97301723943388-1.57079632675     		φ = 1.40222091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40222091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.341340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27344 KachelY 6993 -0.52001949 1.40222091 -29.794922 80.341340
    Oben rechts KachelX + 1 27345 KachelY 6993 -0.51992361 1.40222091 -29.789429 80.341340
    Unten links KachelX 27344 KachelY + 1 6994 -0.52001949 1.40220483 -29.794922 80.340419
    Unten rechts KachelX + 1 27345 KachelY + 1 6994 -0.51992361 1.40220483 -29.789429 80.340419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40222091-1.40220483) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40222091-1.40220483) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51992361) × cos(1.40222091) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167778130363299 × 6371000     		do = 102.487519244105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51992361) × cos(1.40220483) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167793982404087 × 6371000     		du = 102.497202486682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40222091)-sin(1.40220483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167778130363299-0.167793982404087)×R²
    abs(-0.51992361--0.52001949)×1.58520407879947e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.58520407879947e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.58520407879947e-05×40589641000000     		ar = 10499.8996042641m²