Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27343 / 7025
↖ ↑ ↗
← N 80.311804°
W 29.800415°		 ← 102.79 m → N 80.311804°
W 29.794922°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
N 80.310879°
W 29.800415°		 ← 102.80 m →
10 570 m²		 N 80.310879°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417228698730469 y=0.107200622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417228698730469 × 216)
    floor (0.417228698730469 × 65536)
    floor (27343.5)     		tx = 27343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107200622558594 × 216)
    floor (0.107200622558594 × 65536)
    floor (7025.5)     		ty = 7025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27343 / 7025 ti = "16/27343/7025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27343/7025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27343 ÷ 216
    27343 ÷ 65536     		x = 0.417221069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7025 ÷ 216
    7025 ÷ 65536     		y = 0.107192993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417221069335938 × 2 - 1) × π
    -0.165557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52011536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107192993164062 × 2 - 1) × π
    0.785614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46807921383821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52011536} λ = -0.52011536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46807921383821))-π/2
    2×atan(11.7997602543613)-π/2
    2×1.4862508617092-π/2
    2.9725017234184-1.57079632675     		φ = 1.40170540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52011536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.800415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40170540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.311804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27343 KachelY 7025 -0.52011536 1.40170540 -29.800415 80.311804
    Oben rechts KachelX + 1 27344 KachelY 7025 -0.52001949 1.40170540 -29.794922 80.311804
    Unten links KachelX 27343 KachelY + 1 7026 -0.52011536 1.40168926 -29.800415 80.310879
    Unten rechts KachelX + 1 27344 KachelY + 1 7026 -0.52001949 1.40168926 -29.794922 80.310879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40170540-1.40168926) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40170540-1.40168926) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52011536--0.52001949) × cos(1.40170540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168286310580113 × 6371000     		do = 102.787220360753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52011536--0.52001949) × cos(1.40168926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168302220372076 × 6371000     		du = 102.796937867107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40170540)-sin(1.40168926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168286310580113-0.168302220372076)×R²
    abs(-0.52001949--0.52011536)×1.59097919627815e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59097919627815e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59097919627815e-05×40589641000000     		ar = 10569.8977441486m²