Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27343 / 6997
↖ ↑ ↗
← N 80.337653°
W 29.800415°		 ← 102.52 m → N 80.337653°
W 29.794922°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
N 80.336731°
W 29.800415°		 ← 102.53 m →
10 509 m²		 N 80.336731°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417228698730469 y=0.106773376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417228698730469 × 216)
    floor (0.417228698730469 × 65536)
    floor (27343.5)     		tx = 27343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106773376464844 × 216)
    floor (0.106773376464844 × 65536)
    floor (6997.5)     		ty = 6997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27343 / 6997 ti = "16/27343/6997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27343/6997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27343 ÷ 216
    27343 ÷ 65536     		x = 0.417221069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6997 ÷ 216
    6997 ÷ 65536     		y = 0.106765747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417221069335938 × 2 - 1) × π
    -0.165557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52011536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106765747070312 × 2 - 1) × π
    0.786468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47076368021693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52011536} λ = -0.52011536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47076368021693))-π/2
    2×atan(11.8314788687702)-π/2
    2×1.48647644258184-π/2
    2.97295288516368-1.57079632675     		φ = 1.40215656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52011536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.800415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40215656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.337653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27343 KachelY 6997 -0.52011536 1.40215656 -29.800415 80.337653
    Oben rechts KachelX + 1 27344 KachelY 6997 -0.52001949 1.40215656 -29.794922 80.337653
    Unten links KachelX 27343 KachelY + 1 6998 -0.52011536 1.40214047 -29.800415 80.336731
    Unten rechts KachelX + 1 27344 KachelY + 1 6998 -0.52001949 1.40214047 -29.794922 80.336731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40215656-1.40214047) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40215656-1.40214047) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52011536--0.52001949) × cos(1.40215656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167841567840539 × 6371000     		do = 102.515576934624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52011536--0.52001949) × cos(1.40214047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167857429565791 × 6371000     		du = 102.525265082419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40215656)-sin(1.40214047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167841567840539-0.167857429565791)×R²
    abs(-0.52001949--0.52011536)×1.58617252518922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58617252518922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58617252518922e-05×40589641000000     		ar = 10509.3058204675m²