Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27342 / 6833
↖ ↑ ↗
← N 80.487692°
W 29.805908°		 ← 100.94 m → N 80.487692°
W 29.800415°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
N 80.486784°
W 29.805908°		 ← 100.95 m →
10 187 m²		 N 80.486784°
W 29.800415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417213439941406 y=0.104270935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417213439941406 × 216)
    floor (0.417213439941406 × 65536)
    floor (27342.5)     		tx = 27342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104270935058594 × 216)
    floor (0.104270935058594 × 65536)
    floor (6833.5)     		ty = 6833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27342 / 6833 ti = "16/27342/6833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27342/6833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27342 ÷ 216
    27342 ÷ 65536     		x = 0.417205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6833 ÷ 216
    6833 ÷ 65536     		y = 0.104263305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.16558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52021123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104263305664062 × 2 - 1) × π
    0.791473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48648698329231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52021123} λ = -0.52021123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48648698329231))-π/2
    2×atan(12.0189789946724)-π/2
    2×1.48778577926144-π/2
    2.97557155852287-1.57079632675     		φ = 1.40477523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52021123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.805908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40477523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.487692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27342 KachelY 6833 -0.52021123 1.40477523 -29.805908 80.487692
    Oben rechts KachelX + 1 27343 KachelY 6833 -0.52011536 1.40477523 -29.800415 80.487692
    Unten links KachelX 27342 KachelY + 1 6834 -0.52021123 1.40475939 -29.805908 80.486784
    Unten rechts KachelX + 1 27343 KachelY + 1 6834 -0.52011536 1.40475939 -29.800415 80.486784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40477523-1.40475939) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dl = 100.916640000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40477523-1.40475939) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dr = 100.916640000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52021123--0.52011536) × cos(1.40477523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165259473808615 × 6371000     		do = 100.938465478935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52021123--0.52011536) × cos(1.40475939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16527509598984 × 6371000     		du = 100.948007316168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40477523)-sin(1.40475939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165259473808615-0.16527509598984)×R²
    abs(-0.52011536--0.52021123)×1.56221812251112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56221812251112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56221812251112e-05×40589641000000     		ar = 10186.852248149m²