Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27341 / 42693
↖ ↑ ↗
← S 47.772560°
W 29.811401°		 ← 410.54 m → S 47.772560°
W 29.805908°		 →
↑
410.48 m
↓
↑
410.48 m
↓
S 47.776252°
W 29.811401°		 ← 410.51 m →
168 513 m²		 S 47.776252°
W 29.805908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417198181152344 y=0.651451110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417198181152344 × 216)
    floor (0.417198181152344 × 65536)
    floor (27341.5)     		tx = 27341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651451110839844 × 216)
    floor (0.651451110839844 × 65536)
    floor (42693.5)     		ty = 42693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27341 / 42693 ti = "16/27341/42693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27341/42693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27341 ÷ 216
    27341 ÷ 65536     		x = 0.417190551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42693 ÷ 216
    42693 ÷ 65536     		y = 0.651443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417190551757812 × 2 - 1) × π
    -0.165618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52030711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.302886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.951547457458115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52030711} λ = -0.52030711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951547457458115))-π/2
    2×atan(0.386143020984421)-π/2
    2×0.36850392825419-π/2
    0.73700785650838-1.57079632675     		φ = -0.83378847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52030711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.811401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83378847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.772560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27341 KachelY 42693 -0.52030711 -0.83378847 -29.811401 -47.772560
    Oben rechts KachelX + 1 27342 KachelY 42693 -0.52021123 -0.83378847 -29.805908 -47.772560
    Unten links KachelX 27341 KachelY + 1 42694 -0.52030711 -0.83385290 -29.811401 -47.776252
    Unten rechts KachelX + 1 27342 KachelY + 1 42694 -0.52021123 -0.83385290 -29.805908 -47.776252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83378847--0.83385290) × R
    6.44300000000042e-05 × 6371000     		dl = 410.483530000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83378847--0.83385290) × R
    6.44300000000042e-05 × 6371000     		dr = 410.483530000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52030711--0.52021123) × cos(-0.83378847) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.67207529282409 × 6371000     		do = 410.538187292759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52030711--0.52021123) × cos(-0.83385290) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.672027582121321 × 6371000     		du = 410.509043139361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83378847)-sin(-0.83385290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67207529282409-0.672027582121321)×R²
    abs(-0.52021123--0.52030711)×4.77107027690993e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77107027690993e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77107027690993e-05×40589641000000     		ar = 168513.182780573m²