Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2734 / 1778
↖ ↑ ↗
← N 80.231047°
W119.926758°		 ← 414.56 m → N 80.231047°
W119.904785°		 →
↑
414.62 m
↓
↑
414.62 m
↓
N 80.227318°
W119.926758°		 ← 414.72 m →
171 921 m²		 N 80.227318°
W119.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166900634765625 y=0.108551025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166900634765625 × 214)
    floor (0.166900634765625 × 16384)
    floor (2734.5)     		tx = 2734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108551025390625 × 214)
    floor (0.108551025390625 × 16384)
    floor (1778.5)     		ty = 1778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2734 / 1778 ti = "14/2734/1778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2734/1778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2734 ÷ 214
    2734 ÷ 16384     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1778 ÷ 214
    1778 ÷ 16384     		y = 0.1085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1085205078125 × 2 - 1) × π
    0.782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45973819330432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45973819330432))-π/2
    2×atan(11.701747543053)-π/2
    2×1.48554612893292-π/2
    2.97109225786584-1.57079632675     		φ = 1.40029593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40029593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.231047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2734 KachelY 1778 -2.09311679 1.40029593 -119.926758 80.231047
    Oben rechts KachelX + 1 2735 KachelY 1778 -2.09273329 1.40029593 -119.904785 80.231047
    Unten links KachelX 2734 KachelY + 1 1779 -2.09311679 1.40023085 -119.926758 80.227318
    Unten rechts KachelX + 1 2735 KachelY + 1 1779 -2.09273329 1.40023085 -119.904785 80.227318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40029593-1.40023085) × R
    6.50799999999396e-05 × 6371000     		dl = 414.624679999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40029593-1.40023085) × R
    6.50799999999396e-05 × 6371000     		dr = 414.624679999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09273329) × cos(1.40029593) × R
    0.00038349999999987 × 0.169675511323503 × 6371000     		do = 414.56452879308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09273329) × cos(1.40023085) × R
    0.00038349999999987 × 0.169739647303173 × 6371000     		du = 414.721230853284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40029593)-sin(1.40023085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169675511323503-0.169739647303173)×R²
    abs(-2.09273329--2.09311679)×6.41359796700325e-05×R²
    0.00038349999999987×6.41359796700325e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.41359796700325e-05×40589641000000     		ar = 171921.171421404m²