Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2734 / 1170
↖ ↑ ↗
← N 82.255779°
W119.926758°		 ← 329.23 m → N 82.255779°
W119.904785°		 →
↑
329.32 m
↓
↑
329.32 m
↓
N 82.252818°
W119.926758°		 ← 329.36 m →
108 443 m²		 N 82.252818°
W119.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166900634765625 y=0.071441650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166900634765625 × 214)
    floor (0.166900634765625 × 16384)
    floor (2734.5)     		tx = 2734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.071441650390625 × 214)
    floor (0.071441650390625 × 16384)
    floor (1170.5)     		ty = 1170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2734 / 1170 ti = "14/2734/1170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2734/1170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2734 ÷ 214
    2734 ÷ 16384     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1170 ÷ 214
    1170 ÷ 16384     		y = 0.0714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0714111328125 × 2 - 1) × π
    0.857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69290327305627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69290327305627))-π/2
    2×atan(14.7745081449518)-π/2
    2×1.50321525229023-π/2
    3.00643050458045-1.57079632675     		φ = 1.43563418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43563418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.255779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2734 KachelY 1170 -2.09311679 1.43563418 -119.926758 82.255779
    Oben rechts KachelX + 1 2735 KachelY 1170 -2.09273329 1.43563418 -119.904785 82.255779
    Unten links KachelX 2734 KachelY + 1 1171 -2.09311679 1.43558249 -119.926758 82.252818
    Unten rechts KachelX + 1 2735 KachelY + 1 1171 -2.09273329 1.43558249 -119.904785 82.252818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43563418-1.43558249) × R
    5.16900000000486e-05 × 6371000     		dl = 329.31699000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43563418-1.43558249) × R
    5.16900000000486e-05 × 6371000     		dr = 329.31699000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09273329) × cos(1.43563418) × R
    0.00038349999999987 × 0.134750980712262 × 6371000     		do = 329.234174028072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09273329) × cos(1.43558249) × R
    0.00038349999999987 × 0.134802199093307 × 6371000     		du = 329.359314797285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43563418)-sin(1.43558249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134750980712262-0.134802199093307)×R²
    abs(-2.09273329--2.09311679)×5.12183810453815e-05×R²
    0.00038349999999987×5.12183810453815e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.12183810453815e-05×40589641000000     		ar = 108443.012711561m²