Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2734 / 1138
↖ ↑ ↗
← N 82.349953°
W119.926758°		 ← 325.25 m → N 82.349953°
W119.904785°		 →
↑
325.30 m
↓
↑
325.30 m
↓
N 82.347027°
W119.926758°		 ← 325.38 m →
105 826 m²		 N 82.347027°
W119.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166900634765625 y=0.069488525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166900634765625 × 214)
    floor (0.166900634765625 × 16384)
    floor (2734.5)     		tx = 2734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.069488525390625 × 214)
    floor (0.069488525390625 × 16384)
    floor (1138.5)     		ty = 1138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2734 / 1138 ti = "14/2734/1138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2734/1138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2734 ÷ 214
    2734 ÷ 16384     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1138 ÷ 214
    1138 ÷ 16384     		y = 0.0694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0694580078125 × 2 - 1) × π
    0.861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.70517511935901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70517511935901))-π/2
    2×atan(14.9569357101931)-π/2
    2×1.50403706686604-π/2
    3.00807413373209-1.57079632675     		φ = 1.43727781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43727781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.349953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2734 KachelY 1138 -2.09311679 1.43727781 -119.926758 82.349953
    Oben rechts KachelX + 1 2735 KachelY 1138 -2.09273329 1.43727781 -119.904785 82.349953
    Unten links KachelX 2734 KachelY + 1 1139 -2.09311679 1.43722675 -119.926758 82.347027
    Unten rechts KachelX + 1 2735 KachelY + 1 1139 -2.09273329 1.43722675 -119.904785 82.347027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43727781-1.43722675) × R
    5.10600000001027e-05 × 6371000     		dl = 325.303260000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43727781-1.43722675) × R
    5.10600000001027e-05 × 6371000     		dr = 325.303260000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09273329) × cos(1.43727781) × R
    0.00038349999999987 × 0.133122160165373 × 6371000     		do = 325.254511805503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09273329) × cos(1.43722675) × R
    0.00038349999999987 × 0.133172765539284 × 6371000     		du = 325.378154827563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43727781)-sin(1.43722675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133122160165373-0.133172765539284)×R²
    abs(-2.09273329--2.09311679)×5.06053739106616e-05×R²
    0.00038349999999987×5.06053739106616e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.06053739106616e-05×40589641000000     		ar = 105826.463782321m²