Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27338 / 7536
↖ ↑ ↗
← N 79.827836°
W 29.827881°		 ← 107.87 m → N 79.827836°
W 29.822388°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
N 79.826866°
W 29.827881°		 ← 107.88 m →
11 635 m²		 N 79.826866°
W 29.822388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417152404785156 y=0.114997863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417152404785156 × 216)
    floor (0.417152404785156 × 65536)
    floor (27338.5)     		tx = 27338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114997863769531 × 216)
    floor (0.114997863769531 × 65536)
    floor (7536.5)     		ty = 7536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27338 / 7536 ti = "16/27338/7536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27338/7536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27338 ÷ 216
    27338 ÷ 65536     		x = 0.417144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7536 ÷ 216
    7536 ÷ 65536     		y = 0.114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.16571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52059473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114990234375 × 2 - 1) × π
    0.77001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41908770242651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52059473} λ = -0.52059473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41908770242651))-π/2
    2×atan(11.2356044231848)-π/2
    2×1.4820274503071-π/2
    2.9640549006142-1.57079632675     		φ = 1.39325857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52059473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39325857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.827836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27338 KachelY 7536 -0.52059473 1.39325857 -29.827881 79.827836
    Oben rechts KachelX + 1 27339 KachelY 7536 -0.52049886 1.39325857 -29.822388 79.827836
    Unten links KachelX 27338 KachelY + 1 7537 -0.52059473 1.39324164 -29.827881 79.826866
    Unten rechts KachelX + 1 27339 KachelY + 1 7537 -0.52049886 1.39324164 -29.822388 79.826866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39325857-1.39324164) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39325857-1.39324164) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52059473--0.52049886) × cos(1.39325857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17660657073033 × 6371000     		do = 107.869133503723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52059473--0.52049886) × cos(1.39324164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176623234591226 × 6371000     		du = 107.87931158616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39325857)-sin(1.39324164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17660657073033-0.176623234591226)×R²
    abs(-0.52049886--0.52059473)×1.66638608964376e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66638608964376e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66638608964376e-05×40589641000000     		ar = 11635.4247544897m²