Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27336 / 6984
↖ ↑ ↗
← N 80.349631°
W 29.838867°		 ← 102.40 m → N 80.349631°
W 29.833374°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
N 80.348711°
W 29.838867°		 ← 102.41 m →
10 484 m²		 N 80.348711°
W 29.833374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417121887207031 y=0.106575012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417121887207031 × 216)
    floor (0.417121887207031 × 65536)
    floor (27336.5)     		tx = 27336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106575012207031 × 216)
    floor (0.106575012207031 × 65536)
    floor (6984.5)     		ty = 6984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27336 / 6984 ti = "16/27336/6984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27336/6984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27336 ÷ 216
    27336 ÷ 65536     		x = 0.4171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6984 ÷ 216
    6984 ÷ 65536     		y = 0.1065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1065673828125 × 2 - 1) × π
    0.786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47201003960706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52078648} λ = -0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47201003960706))-π/2
    2×atan(11.8462343369553)-π/2
    2×1.48658097380836-π/2
    2.97316194761672-1.57079632675     		φ = 1.40236562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40236562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.349631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27336 KachelY 6984 -0.52078648 1.40236562 -29.838867 80.349631
    Oben rechts KachelX + 1 27337 KachelY 6984 -0.52069060 1.40236562 -29.833374 80.349631
    Unten links KachelX 27336 KachelY + 1 6985 -0.52078648 1.40234955 -29.838867 80.348711
    Unten rechts KachelX + 1 27337 KachelY + 1 6985 -0.52069060 1.40234955 -29.833374 80.348711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40236562-1.40234955) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40236562-1.40234955) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52078648--0.52069060) × cos(1.40236562) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167635469903008 × 6371000     		do = 102.4003748908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52078648--0.52069060) × cos(1.40234955) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167651312475594 × 6371000     		du = 102.410052349711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40236562)-sin(1.40234955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167635469903008-0.167651312475594)×R²
    abs(-0.52069060--0.52078648)×1.58425725860778e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.58425725860778e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.58425725860778e-05×40589641000000     		ar = 10484.4475087587m²