Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27335 / 6981
↖ ↑ ↗
← N 80.352394°
W 29.844360°		 ← 102.36 m → N 80.352394°
W 29.838867°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
N 80.351473°
W 29.844360°		 ← 102.37 m →
10 480 m²		 N 80.351473°
W 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417106628417969 y=0.106529235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417106628417969 × 216)
    floor (0.417106628417969 × 65536)
    floor (27335.5)     		tx = 27335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106529235839844 × 216)
    floor (0.106529235839844 × 65536)
    floor (6981.5)     		ty = 6981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27335 / 6981 ti = "16/27335/6981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27335/6981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27335 ÷ 216
    27335 ÷ 65536     		x = 0.417098999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6981 ÷ 216
    6981 ÷ 65536     		y = 0.106521606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417098999023438 × 2 - 1) × π
    -0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106521606445312 × 2 - 1) × π
    0.786956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47229766100478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52088235} λ = -0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47229766100478))-π/2
    2×atan(11.8496420574762)-π/2
    2×1.48660507816474-π/2
    2.97321015632949-1.57079632675     		φ = 1.40241383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40241383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.352394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27335 KachelY 6981 -0.52088235 1.40241383 -29.844360 80.352394
    Oben rechts KachelX + 1 27336 KachelY 6981 -0.52078648 1.40241383 -29.838867 80.352394
    Unten links KachelX 27335 KachelY + 1 6982 -0.52088235 1.40239776 -29.844360 80.351473
    Unten rechts KachelX + 1 27336 KachelY + 1 6982 -0.52078648 1.40239776 -29.838867 80.351473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40241383-1.40239776) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40241383-1.40239776) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52088235--0.52078648) × cos(1.40241383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167587941925521 × 6371000     		do = 102.360665327576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52088235--0.52078648) × cos(1.40239776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167603784627967 × 6371000     		du = 102.370341856474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40241383)-sin(1.40239776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167587941925521-0.167603784627967)×R²
    abs(-0.52078648--0.52088235)×1.58427024468388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58427024468388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58427024468388e-05×40589641000000     		ar = 10480.3819180962m²