Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27334 / 7534
↖ ↑ ↗
← N 79.829776°
W 29.849854°		 ← 107.86 m → N 79.829776°
W 29.844360°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 79.828806°
W 29.849854°		 ← 107.87 m →
11 628 m²		 N 79.828806°
W 29.844360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417091369628906 y=0.114967346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417091369628906 × 216)
    floor (0.417091369628906 × 65536)
    floor (27334.5)     		tx = 27334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114967346191406 × 216)
    floor (0.114967346191406 × 65536)
    floor (7534.5)     		ty = 7534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27334 / 7534 ti = "16/27334/7534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27334/7534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27334 ÷ 216
    27334 ÷ 65536     		x = 0.417083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7534 ÷ 216
    7534 ÷ 65536     		y = 0.114959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114959716796875 × 2 - 1) × π
    0.77008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41927945002499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52097823} λ = -0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41927945002499))-π/2
    2×atan(11.2377590299141)-π/2
    2×1.48204438065193-π/2
    2.96408876130386-1.57079632675     		φ = 1.39329243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39329243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.829776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27334 KachelY 7534 -0.52097823 1.39329243 -29.849854 79.829776
    Oben rechts KachelX + 1 27335 KachelY 7534 -0.52088235 1.39329243 -29.844360 79.829776
    Unten links KachelX 27334 KachelY + 1 7535 -0.52097823 1.39327551 -29.849854 79.828806
    Unten rechts KachelX + 1 27335 KachelY + 1 7535 -0.52088235 1.39327551 -29.844360 79.828806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39329243-1.39327551) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39329243-1.39327551) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52097823--0.52088235) × cos(1.39329243) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176573242856682 × 6371000     		do = 107.860026727333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52097823--0.52088235) × cos(1.39327551) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176589896975968 × 6371000     		du = 107.870199920747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39329243)-sin(1.39327551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176573242856682-0.176589896975968)×R²
    abs(-0.52088235--0.52097823)×1.66541192862524e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66541192862524e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66541192862524e-05×40589641000000     		ar = 11627.5701380973m²