Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27334 / 6988
↖ ↑ ↗
← N 80.345947°
W 29.849854°		 ← 102.44 m → N 80.345947°
W 29.844360°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
N 80.345026°
W 29.849854°		 ← 102.45 m →
10 495 m²		 N 80.345026°
W 29.844360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417091369628906 y=0.106636047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417091369628906 × 216)
    floor (0.417091369628906 × 65536)
    floor (27334.5)     		tx = 27334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106636047363281 × 216)
    floor (0.106636047363281 × 65536)
    floor (6988.5)     		ty = 6988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27334 / 6988 ti = "16/27334/6988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27334/6988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27334 ÷ 216
    27334 ÷ 65536     		x = 0.417083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6988 ÷ 216
    6988 ÷ 65536     		y = 0.10662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10662841796875 × 2 - 1) × π
    0.7867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4716265444101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52097823} λ = -0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4716265444101))-π/2
    2×atan(11.841692233978)-π/2
    2×1.48654882403274-π/2
    2.97309764806548-1.57079632675     		φ = 1.40230132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40230132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.345947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27334 KachelY 6988 -0.52097823 1.40230132 -29.849854 80.345947
    Oben rechts KachelX + 1 27335 KachelY 6988 -0.52088235 1.40230132 -29.844360 80.345947
    Unten links KachelX 27334 KachelY + 1 6989 -0.52097823 1.40228524 -29.849854 80.345026
    Unten rechts KachelX + 1 27335 KachelY + 1 6989 -0.52088235 1.40228524 -29.844360 80.345026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40230132-1.40228524) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40230132-1.40228524) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52097823--0.52088235) × cos(1.40230132) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167698859650331 × 6371000     		do = 102.43909661165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52097823--0.52088235) × cos(1.40228524) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167714711908014 × 6371000     		du = 102.448779986717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40230132)-sin(1.40228524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167698859650331-0.167714711908014)×R²
    abs(-0.52088235--0.52097823)×1.58522576829134e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.58522576829134e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.58522576829134e-05×40589641000000     		ar = 10494.9389213555m²