Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27333 / 6985
↖ ↑ ↗
← N 80.348711°
W 29.855347°		 ← 102.40 m → N 80.348711°
W 29.849854°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
N 80.347789°
W 29.855347°		 ← 102.41 m →
10 491 m²		 N 80.347789°
W 29.849854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417076110839844 y=0.106590270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417076110839844 × 216)
    floor (0.417076110839844 × 65536)
    floor (27333.5)     		tx = 27333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106590270996094 × 216)
    floor (0.106590270996094 × 65536)
    floor (6985.5)     		ty = 6985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27333 / 6985 ti = "16/27333/6985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27333/6985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27333 ÷ 216
    27333 ÷ 65536     		x = 0.417068481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6985 ÷ 216
    6985 ÷ 65536     		y = 0.106582641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417068481445312 × 2 - 1) × π
    -0.165863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52107410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106582641601562 × 2 - 1) × π
    0.786834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47191416580782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52107410} λ = -0.52107410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47191416580782))-π/2
    2×atan(11.845098647905)-π/2
    2×1.48657293750393-π/2
    2.97314587500786-1.57079632675     		φ = 1.40234955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52107410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.855347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40234955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.348711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27333 KachelY 6985 -0.52107410 1.40234955 -29.855347 80.348711
    Oben rechts KachelX + 1 27334 KachelY 6985 -0.52097823 1.40234955 -29.849854 80.348711
    Unten links KachelX 27333 KachelY + 1 6986 -0.52107410 1.40233347 -29.855347 80.347789
    Unten rechts KachelX + 1 27334 KachelY + 1 6986 -0.52097823 1.40233347 -29.849854 80.347789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40234955-1.40233347) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40234955-1.40233347) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52107410--0.52097823) × cos(1.40234955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167651312475594 × 6371000     		do = 102.399371284539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52107410--0.52097823) × cos(1.40233347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167667164863322 × 6371000     		du = 102.409053729089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40234955)-sin(1.40233347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167651312475594-0.167667164863322)×R²
    abs(-0.52097823--0.52107410)×1.58523877275274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58523877275274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58523877275274e-05×40589641000000     		ar = 10490.8691855263m²