Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27327 / 6979
↖ ↑ ↗
← N 80.354235°
W 29.888306°		 ← 102.34 m → N 80.354235°
W 29.882813°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
N 80.353314°
W 29.888306°		 ← 102.35 m →
10 472 m²		 N 80.353314°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416984558105469 y=0.106498718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416984558105469 × 216)
    floor (0.416984558105469 × 65536)
    floor (27327.5)     		tx = 27327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106498718261719 × 216)
    floor (0.106498718261719 × 65536)
    floor (6979.5)     		ty = 6979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27327 / 6979 ti = "16/27327/6979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27327/6979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27327 ÷ 216
    27327 ÷ 65536     		x = 0.416976928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6979 ÷ 216
    6979 ÷ 65536     		y = 0.106491088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416976928710938 × 2 - 1) × π
    -0.166046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52164934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106491088867188 × 2 - 1) × π
    0.787017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47248940860326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52164934} λ = -0.52164934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47248940860326))-π/2
    2×atan(11.8519144157362)-π/2
    2×1.48662114393893-π/2
    2.97324228787787-1.57079632675     		φ = 1.40244596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52164934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.888306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40244596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.354235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27327 KachelY 6979 -0.52164934 1.40244596 -29.888306 80.354235
    Oben rechts KachelX + 1 27328 KachelY 6979 -0.52155347 1.40244596 -29.882813 80.354235
    Unten links KachelX 27327 KachelY + 1 6980 -0.52164934 1.40242990 -29.888306 80.353314
    Unten rechts KachelX + 1 27328 KachelY + 1 6980 -0.52155347 1.40242990 -29.882813 80.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40244596-1.40242990) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40244596-1.40242990) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52164934--0.52155347) × cos(1.40244596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16755626624942 × 6371000     		do = 102.341318212007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52164934--0.52155347) × cos(1.40242990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167572099179795 × 6371000     		du = 102.350988772244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40244596)-sin(1.40242990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16755626624942-0.167572099179795)×R²
    abs(-0.52155347--0.52164934)×1.58329303751037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58329303751037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58329303751037e-05×40589641000000     		ar = 10471.8803431831m²