Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27322 / 6370
↖ ↑ ↗
← N 80.898931°
W 29.915771°		 ← 96.61 m → N 80.898931°
W 29.910279°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 80.898062°
W 29.915771°		 ← 96.62 m →
9 338 m²		 N 80.898062°
W 29.910279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416908264160156 y=0.0972061157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416908264160156 × 216)
    floor (0.416908264160156 × 65536)
    floor (27322.5)     		tx = 27322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0972061157226562 × 216)
    floor (0.0972061157226562 × 65536)
    floor (6370.5)     		ty = 6370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27322 / 6370 ti = "16/27322/6370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27322/6370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27322 ÷ 216
    27322 ÷ 65536     		x = 0.416900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6370 ÷ 216
    6370 ÷ 65536     		y = 0.097198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.16619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52212871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097198486328125 × 2 - 1) × π
    0.80560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53087655234048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52212871} λ = -0.52212871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53087655234048))-π/2
    2×atan(12.5645147659686)-π/2
    2×1.49137451657111-π/2
    2.98274903314223-1.57079632675     		φ = 1.41195271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52212871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.915771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41195271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.898931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27322 KachelY 6370 -0.52212871 1.41195271 -29.915771 80.898931
    Oben rechts KachelX + 1 27323 KachelY 6370 -0.52203284 1.41195271 -29.910279 80.898931
    Unten links KachelX 27322 KachelY + 1 6371 -0.52212871 1.41193754 -29.915771 80.898062
    Unten rechts KachelX + 1 27323 KachelY + 1 6371 -0.52203284 1.41193754 -29.910279 80.898062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41195271-1.41193754) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41195271-1.41193754) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52212871--0.52203284) × cos(1.41195271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158176487296659 × 6371000     		do = 96.6122639423578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52212871--0.52203284) × cos(1.41193754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158191466301146 × 6371000     		du = 96.6214129351051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41195271)-sin(1.41193754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158176487296659-0.158191466301146)×R²
    abs(-0.52203284--0.52212871)×1.49790044868814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49790044868814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49790044868814e-05×40589641000000     		ar = 9337.83096474578m²