Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27320 / 6855
↖ ↑ ↗
← N 80.467700°
W 29.926758°		 ← 101.16 m → N 80.467700°
W 29.921264°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
N 80.466790°
W 29.926758°		 ← 101.17 m →
10 235 m²		 N 80.466790°
W 29.921264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416877746582031 y=0.104606628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416877746582031 × 216)
    floor (0.416877746582031 × 65536)
    floor (27320.5)     		tx = 27320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104606628417969 × 216)
    floor (0.104606628417969 × 65536)
    floor (6855.5)     		ty = 6855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27320 / 6855 ti = "16/27320/6855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27320/6855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27320 ÷ 216
    27320 ÷ 65536     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6855 ÷ 216
    6855 ÷ 65536     		y = 0.104598999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104598999023438 × 2 - 1) × π
    0.790802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48437775970903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48437775970903))-π/2
    2×atan(11.9936549971048)-π/2
    2×1.48761131327593-π/2
    2.97522262655186-1.57079632675     		φ = 1.40442630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40442630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.467700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27320 KachelY 6855 -0.52232046 1.40442630 -29.926758 80.467700
    Oben rechts KachelX + 1 27321 KachelY 6855 -0.52222458 1.40442630 -29.921264 80.467700
    Unten links KachelX 27320 KachelY + 1 6856 -0.52232046 1.40441042 -29.926758 80.466790
    Unten rechts KachelX + 1 27321 KachelY + 1 6856 -0.52222458 1.40441042 -29.921264 80.466790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40442630-1.40441042) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dl = 101.17147999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40442630-1.40441042) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dr = 101.17147999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52222458) × cos(1.40442630) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165603595996915 × 6371000     		do = 101.159201707971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52222458) × cos(1.40441042) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165619256711339 × 6371000     		du = 101.168768078555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40442630)-sin(1.40441042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165603595996915-0.165619256711339)×R²
    abs(-0.52222458--0.52232046)×1.56607144240484e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.56607144240484e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.56607144240484e-05×40589641000000     		ar = 10234.9100745168m²