Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27320 / 6411
↖ ↑ ↗
← N 80.863237°
W 29.926758°		 ← 97 m → N 80.863237°
W 29.921264°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
N 80.862365°
W 29.926758°		 ← 97.01 m →
9 406 m²		 N 80.862365°
W 29.921264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416877746582031 y=0.0978317260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416877746582031 × 216)
    floor (0.416877746582031 × 65536)
    floor (27320.5)     		tx = 27320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978317260742188 × 216)
    floor (0.0978317260742188 × 65536)
    floor (6411.5)     		ty = 6411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27320 / 6411 ti = "16/27320/6411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27320/6411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27320 ÷ 216
    27320 ÷ 65536     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6411 ÷ 216
    6411 ÷ 65536     		y = 0.0978240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0978240966796875 × 2 - 1) × π
    0.804351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52694572657164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52694572657164))-π/2
    2×atan(12.5152227901071)-π/2
    2×1.49106303037709-π/2
    2.98212606075418-1.57079632675     		φ = 1.41132973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41132973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.863237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27320 KachelY 6411 -0.52232046 1.41132973 -29.926758 80.863237
    Oben rechts KachelX + 1 27321 KachelY 6411 -0.52222458 1.41132973 -29.921264 80.863237
    Unten links KachelX 27320 KachelY + 1 6412 -0.52232046 1.41131451 -29.926758 80.862365
    Unten rechts KachelX + 1 27321 KachelY + 1 6412 -0.52222458 1.41131451 -29.921264 80.862365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41132973-1.41131451) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dl = 96.9666200005956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41132973-1.41131451) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dr = 96.9666200005956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52222458) × cos(1.41132973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158791593777572 × 6371000     		do = 96.9980800705253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52222458) × cos(1.41131451) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158806620649704 × 6371000     		du = 97.0072592576065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41132973)-sin(1.41131451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158791593777572-0.158806620649704)×R²
    abs(-0.52222458--0.52232046)×1.50268721313962e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50268721313962e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50268721313962e-05×40589641000000     		ar = 9406.02100819046m²