Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27320 / 42590
↖ ↑ ↗
← S 47.390912°
W 29.926758°		 ← 413.54 m → S 47.390912°
W 29.921264°		 →
↑
413.48 m
↓
↑
413.48 m
↓
S 47.394631°
W 29.926758°		 ← 413.51 m →
170 984 m²		 S 47.394631°
W 29.921264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416877746582031 y=0.649879455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416877746582031 × 216)
    floor (0.416877746582031 × 65536)
    floor (27320.5)     		tx = 27320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649879455566406 × 216)
    floor (0.649879455566406 × 65536)
    floor (42590.5)     		ty = 42590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27320 / 42590 ti = "16/27320/42590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27320/42590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27320 ÷ 216
    27320 ÷ 65536     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42590 ÷ 216
    42590 ÷ 65536     		y = 0.649871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.29974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.941672456136383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941672456136383))-π/2
    2×atan(0.389975073448219)-π/2
    2×0.371834437912371-π/2
    0.743668875824742-1.57079632675     		φ = -0.82712745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82712745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.390912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27320 KachelY 42590 -0.52232046 -0.82712745 -29.926758 -47.390912
    Oben rechts KachelX + 1 27321 KachelY 42590 -0.52222458 -0.82712745 -29.921264 -47.390912
    Unten links KachelX 27320 KachelY + 1 42591 -0.52232046 -0.82719235 -29.926758 -47.394631
    Unten rechts KachelX + 1 27321 KachelY + 1 42591 -0.52222458 -0.82719235 -29.921264 -47.394631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82712745--0.82719235) × R
    6.49000000000344e-05 × 6371000     		dl = 413.477900000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82712745--0.82719235) × R
    6.49000000000344e-05 × 6371000     		dr = 413.477900000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52222458) × cos(-0.82712745) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.676992717534724 × 6371000     		do = 413.542003455037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52222458) × cos(-0.82719235) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.676944950376512 × 6371000     		du = 413.512824815748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82712745)-sin(-0.82719235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676992717534724-0.676944950376512)×R²
    abs(-0.52222458--0.52232046)×4.77671582120864e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77671582120864e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77671582120864e-05×40589641000000     		ar = 170984.44684917m²