Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27317 / 6409
↖ ↑ ↗
← N 80.864982°
W 29.943237°		 ← 96.97 m → N 80.864982°
W 29.937744°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
N 80.864110°
W 29.943237°		 ← 96.98 m →
9 403 m²		 N 80.864110°
W 29.937744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416831970214844 y=0.0978012084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416831970214844 × 216)
    floor (0.416831970214844 × 65536)
    floor (27317.5)     		tx = 27317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978012084960938 × 216)
    floor (0.0978012084960938 × 65536)
    floor (6409.5)     		ty = 6409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27317 / 6409 ti = "16/27317/6409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27317/6409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27317 ÷ 216
    27317 ÷ 65536     		x = 0.416824340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6409 ÷ 216
    6409 ÷ 65536     		y = 0.0977935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416824340820312 × 2 - 1) × π
    -0.166351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52260808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0977935791015625 × 2 - 1) × π
    0.804412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52713747417012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52260808} λ = -0.52260808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52713747417012))-π/2
    2×atan(12.5176227841108)-π/2
    2×1.49107825288913-π/2
    2.98215650577826-1.57079632675     		φ = 1.41136018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52260808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.943237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41136018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.864982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27317 KachelY 6409 -0.52260808 1.41136018 -29.943237 80.864982
    Oben rechts KachelX + 1 27318 KachelY 6409 -0.52251221 1.41136018 -29.937744 80.864982
    Unten links KachelX 27317 KachelY + 1 6410 -0.52260808 1.41134496 -29.943237 80.864110
    Unten rechts KachelX + 1 27318 KachelY + 1 6410 -0.52251221 1.41134496 -29.937744 80.864110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41136018-1.41134496) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dl = 96.966619999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41136018-1.41134496) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dr = 96.966619999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52260808--0.52251221) × cos(1.41136018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158761530049792 × 6371000     		do = 96.9696009008986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52260808--0.52251221) × cos(1.41134496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158776556995512 × 6371000     		du = 96.9787791755645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41136018)-sin(1.41134496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158761530049792-0.158776556995512)×R²
    abs(-0.52251221--0.52260808)×1.50269457194763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50269457194763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50269457194763e-05×40589641000000     		ar = 9403.25943537196m²