Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27315 / 6861
↖ ↑ ↗
← N 80.462240°
W 29.954224°		 ← 101.22 m → N 80.462240°
W 29.948730°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 80.461329°
W 29.954224°		 ← 101.23 m →
10 247 m²		 N 80.461329°
W 29.948730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416801452636719 y=0.104698181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416801452636719 × 216)
    floor (0.416801452636719 × 65536)
    floor (27315.5)     		tx = 27315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104698181152344 × 216)
    floor (0.104698181152344 × 65536)
    floor (6861.5)     		ty = 6861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27315 / 6861 ti = "16/27315/6861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27315/6861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27315 ÷ 216
    27315 ÷ 65536     		x = 0.416793823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6861 ÷ 216
    6861 ÷ 65536     		y = 0.104690551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416793823242188 × 2 - 1) × π
    -0.166412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52279983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104690551757812 × 2 - 1) × π
    0.790618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48380251691359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52279983} λ = -0.52279983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48380251691359))-π/2
    2×atan(11.9867577174721)-π/2
    2×1.48756366862506-π/2
    2.97512733725011-1.57079632675     		φ = 1.40433101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52279983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.954224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40433101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.462240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27315 KachelY 6861 -0.52279983 1.40433101 -29.954224 80.462240
    Oben rechts KachelX + 1 27316 KachelY 6861 -0.52270395 1.40433101 -29.948730 80.462240
    Unten links KachelX 27315 KachelY + 1 6862 -0.52279983 1.40431512 -29.954224 80.461329
    Unten rechts KachelX + 1 27316 KachelY + 1 6862 -0.52270395 1.40431512 -29.948730 80.461329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40433101-1.40431512) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40433101-1.40431512) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52279983--0.52270395) × cos(1.40433101) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165697569518673 × 6371000     		do = 101.216605572818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52279983--0.52270395) × cos(1.40431512) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165713239844162 × 6371000     		du = 101.226177814335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40433101)-sin(1.40431512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165697569518673-0.165713239844162)×R²
    abs(-0.52270395--0.52279983)×1.56703254888813e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.56703254888813e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.56703254888813e-05×40589641000000     		ar = 10247.1668201129m²