Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27314 / 6417
↖ ↑ ↗
← N 80.858002°
W 29.959717°		 ← 97.04 m → N 80.858002°
W 29.954224°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
N 80.857129°
W 29.959717°		 ← 97.05 m →
9 417 m²		 N 80.857129°
W 29.954224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416786193847656 y=0.0979232788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416786193847656 × 216)
    floor (0.416786193847656 × 65536)
    floor (27314.5)     		tx = 27314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0979232788085938 × 216)
    floor (0.0979232788085938 × 65536)
    floor (6417.5)     		ty = 6417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27314 / 6417 ti = "16/27314/6417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27314/6417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27314 ÷ 216
    27314 ÷ 65536     		x = 0.416778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6417 ÷ 216
    6417 ÷ 65536     		y = 0.0979156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.16644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52289570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0979156494140625 × 2 - 1) × π
    0.804168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5263704837762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52289570} λ = -0.52289570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5263704837762))-π/2
    2×atan(12.5080255686371)-π/2
    2×1.49101734554614-π/2
    2.98203469109228-1.57079632675     		φ = 1.41123836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52289570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.959717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41123836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.858002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27314 KachelY 6417 -0.52289570 1.41123836 -29.959717 80.858002
    Oben rechts KachelX + 1 27315 KachelY 6417 -0.52279983 1.41123836 -29.954224 80.858002
    Unten links KachelX 27314 KachelY + 1 6418 -0.52289570 1.41122313 -29.959717 80.857129
    Unten rechts KachelX + 1 27315 KachelY + 1 6418 -0.52279983 1.41122313 -29.954224 80.857129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41123836-1.41122313) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41123836-1.41122313) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52289570--0.52279983) × cos(1.41123836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158881803823362 × 6371000     		do = 97.0430626508466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52289570--0.52279983) × cos(1.41122313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158896840347548 × 6371000     		du = 97.0522467759229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41123836)-sin(1.41122313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158881803823362-0.158896840347548)×R²
    abs(-0.52279983--0.52289570)×1.50365241863293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50365241863293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50365241863293e-05×40589641000000     		ar = 9416.56596286158m²