Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27313 / 6864
↖ ↑ ↗
← N 80.459509°
W 29.965210°		 ← 101.23 m → N 80.459509°
W 29.959717°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
N 80.458598°
W 29.965210°		 ← 101.24 m →
10 255 m²		 N 80.458598°
W 29.959717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416770935058594 y=0.104743957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416770935058594 × 216)
    floor (0.416770935058594 × 65536)
    floor (27313.5)     		tx = 27313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104743957519531 × 216)
    floor (0.104743957519531 × 65536)
    floor (6864.5)     		ty = 6864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27313 / 6864 ti = "16/27313/6864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27313/6864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27313 ÷ 216
    27313 ÷ 65536     		x = 0.416763305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6864 ÷ 216
    6864 ÷ 65536     		y = 0.104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416763305664062 × 2 - 1) × π
    -0.166473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52299157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104736328125 × 2 - 1) × π
    0.79052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48351489551587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52299157} λ = -0.52299157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48351489551587))-π/2
    2×atan(11.9833105652244)-π/2
    2×1.48753983616203-π/2
    2.97507967232407-1.57079632675     		φ = 1.40428335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52299157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.965210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40428335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.459509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27313 KachelY 6864 -0.52299157 1.40428335 -29.965210 80.459509
    Oben rechts KachelX + 1 27314 KachelY 6864 -0.52289570 1.40428335 -29.959717 80.459509
    Unten links KachelX 27313 KachelY + 1 6865 -0.52299157 1.40426745 -29.965210 80.458598
    Unten rechts KachelX + 1 27314 KachelY + 1 6865 -0.52289570 1.40426745 -29.959717 80.458598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40428335-1.40426745) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40428335-1.40426745) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52299157--0.52289570) × cos(1.40428335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165744570507925 × 6371000     		do = 101.234756610141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52299157--0.52289570) × cos(1.40426745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165760250569565 × 6371000     		du = 101.244333800024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40428335)-sin(1.40426745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165744570507925-0.165760250569565)×R²
    abs(-0.52289570--0.52299157)×1.56800616402664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56800616402664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56800616402664e-05×40589641000000     		ar = 10255.4545657967m²