Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27312 / 7053
↖ ↑ ↗
← N 80.285885°
W 29.970703°		 ← 103.07 m → N 80.285885°
W 29.965210°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 80.284958°
W 29.970703°		 ← 103.08 m →
10 625 m²		 N 80.284958°
W 29.965210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416755676269531 y=0.107627868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416755676269531 × 216)
    floor (0.416755676269531 × 65536)
    floor (27312.5)     		tx = 27312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107627868652344 × 216)
    floor (0.107627868652344 × 65536)
    floor (7053.5)     		ty = 7053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27312 / 7053 ti = "16/27312/7053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27312/7053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27312 ÷ 216
    27312 ÷ 65536     		x = 0.416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7053 ÷ 216
    7053 ÷ 65536     		y = 0.107620239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107620239257812 × 2 - 1) × π
    0.784759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46539474745949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52308745} λ = -0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46539474745949))-π/2
    2×atan(11.7681266733208)-π/2
    2×1.4860246831183-π/2
    2.9720493662366-1.57079632675     		φ = 1.40125304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40125304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.285885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27312 KachelY 7053 -0.52308745 1.40125304 -29.970703 80.285885
    Oben rechts KachelX + 1 27313 KachelY 7053 -0.52299157 1.40125304 -29.965210 80.285885
    Unten links KachelX 27312 KachelY + 1 7054 -0.52308745 1.40123686 -29.970703 80.284958
    Unten rechts KachelX + 1 27313 KachelY + 1 7054 -0.52299157 1.40123686 -29.965210 80.284958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40125304-1.40123686) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40125304-1.40123686) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52308745--0.52299157) × cos(1.40125304) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.168732201860233 × 6371000     		do = 103.070315230034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52308745--0.52299157) × cos(1.40123686) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.168748149848205 × 6371000     		du = 103.080057082089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40125304)-sin(1.40123686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168732201860233-0.168748149848205)×R²
    abs(-0.52299157--0.52308745)×1.59479879715541e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.59479879715541e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.59479879715541e-05×40589641000000     		ar = 10625.2767381142m²