Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27311 / 42611
↖ ↑ ↗
← S 47.468949°
W 29.976196°		 ← 412.89 m → S 47.468949°
W 29.970703°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
S 47.472663°
W 29.976196°		 ← 412.86 m →
170 477 m²		 S 47.472663°
W 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416740417480469 y=0.650199890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416740417480469 × 216)
    floor (0.416740417480469 × 65536)
    floor (27311.5)     		tx = 27311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650199890136719 × 216)
    floor (0.650199890136719 × 65536)
    floor (42611.5)     		ty = 42611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27311 / 42611 ti = "16/27311/42611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27311/42611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27311 ÷ 216
    27311 ÷ 65536     		x = 0.416732788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42611 ÷ 216
    42611 ÷ 65536     		y = 0.650192260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416732788085938 × 2 - 1) × π
    -0.166534423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52318332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650192260742188 × 2 - 1) × π
    -0.300384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.943685805920425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52318332} λ = -0.52318332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943685805920425))-π/2
    2×atan(0.389190707085191)-π/2
    2×0.371153431237122-π/2
    0.742306862474244-1.57079632675     		φ = -0.82848946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52318332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.976196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82848946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.468949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27311 KachelY 42611 -0.52318332 -0.82848946 -29.976196 -47.468949
    Oben rechts KachelX + 1 27312 KachelY 42611 -0.52308745 -0.82848946 -29.970703 -47.468949
    Unten links KachelX 27311 KachelY + 1 42612 -0.52318332 -0.82855427 -29.976196 -47.472663
    Unten rechts KachelX + 1 27312 KachelY + 1 42612 -0.52308745 -0.82855427 -29.970703 -47.472663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82848946--0.82855427) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82848946--0.82855427) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52318332--0.52308745) × cos(-0.82848946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67598966455833 × 6371000     		do = 412.886219758621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52318332--0.52308745) × cos(-0.82855427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675941903930099 × 6371000     		du = 412.857048151011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82848946)-sin(-0.82855427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67598966455833-0.675941903930099)×R²
    abs(-0.52308745--0.52318332)×4.77606282300869e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77606282300869e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77606282300869e-05×40589641000000     		ar = 170476.559770488m²