Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27310 / 42589
↖ ↑ ↗
← S 47.387193°
W 29.981690°		 ← 413.57 m → S 47.387193°
W 29.976196°		 →
↑
413.54 m
↓
↑
413.54 m
↓
S 47.390912°
W 29.981690°		 ← 413.54 m →
171 023 m²		 S 47.390912°
W 29.976196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416725158691406 y=0.649864196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416725158691406 × 216)
    floor (0.416725158691406 × 65536)
    floor (27310.5)     		tx = 27310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649864196777344 × 216)
    floor (0.649864196777344 × 65536)
    floor (42589.5)     		ty = 42589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27310 / 42589 ti = "16/27310/42589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27310/42589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27310 ÷ 216
    27310 ÷ 65536     		x = 0.416717529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42589 ÷ 216
    42589 ÷ 65536     		y = 0.649856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.16656494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52327920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.299713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.941576582337143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52327920} λ = -0.52327920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941576582337143))-π/2
    2×atan(0.39001246363246)-π/2
    2×0.371866891989259-π/2
    0.743733783978518-1.57079632675     		φ = -0.82706254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52327920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.981690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82706254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.387193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27310 KachelY 42589 -0.52327920 -0.82706254 -29.981690 -47.387193
    Oben rechts KachelX + 1 27311 KachelY 42589 -0.52318332 -0.82706254 -29.976196 -47.387193
    Unten links KachelX 27310 KachelY + 1 42590 -0.52327920 -0.82712745 -29.981690 -47.390912
    Unten rechts KachelX + 1 27311 KachelY + 1 42590 -0.52318332 -0.82712745 -29.976196 -47.390912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82706254--0.82712745) × R
    6.49099999999736e-05 × 6371000     		dl = 413.541609999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82706254--0.82712745) × R
    6.49099999999736e-05 × 6371000     		dr = 413.541609999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52327920--0.52318332) × cos(-0.82706254) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.677040489200894 × 6371000     		do = 413.571184848498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52327920--0.52318332) × cos(-0.82712745) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.676992717534724 × 6371000     		du = 413.542003455516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82706254)-sin(-0.82712745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677040489200894-0.676992717534724)×R²
    abs(-0.52318332--0.52327920)×4.77716661696492e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77716661696492e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77716661696492e-05×40589641000000     		ar = 171022.859831994m²