Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27309 / 7567
↖ ↑ ↗
← N 79.797718°
W 29.987183°		 ← 108.19 m → N 79.797718°
W 29.981690°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 79.796745°
W 29.987183°		 ← 108.20 m →
11 711 m²		 N 79.796745°
W 29.981690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416709899902344 y=0.115470886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416709899902344 × 216)
    floor (0.416709899902344 × 65536)
    floor (27309.5)     		tx = 27309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115470886230469 × 216)
    floor (0.115470886230469 × 65536)
    floor (7567.5)     		ty = 7567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27309 / 7567 ti = "16/27309/7567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27309/7567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27309 ÷ 216
    27309 ÷ 65536     		x = 0.416702270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7567 ÷ 216
    7567 ÷ 65536     		y = 0.115463256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416702270507812 × 2 - 1) × π
    -0.166595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52337507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115463256835938 × 2 - 1) × π
    0.769073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41611561465007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52337507} λ = -0.52337507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41611561465007))-π/2
    2×atan(11.2022607952567)-π/2
    2×1.48176462096046-π/2
    2.96352924192092-1.57079632675     		φ = 1.39273292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52337507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.987183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39273292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.797718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27309 KachelY 7567 -0.52337507 1.39273292 -29.987183 79.797718
    Oben rechts KachelX + 1 27310 KachelY 7567 -0.52327920 1.39273292 -29.981690 79.797718
    Unten links KachelX 27309 KachelY + 1 7568 -0.52337507 1.39271593 -29.987183 79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 27310 KachelY + 1 7568 -0.52327920 1.39271593 -29.981690 79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39273292-1.39271593) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39273292-1.39271593) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52337507--0.52327920) × cos(1.39273292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177123933890881 × 6371000     		do = 108.185132594836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52337507--0.52327920) × cos(1.39271593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 108.195345783576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39273292)-sin(1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177123933890881-0.177140655228867)×R²
    abs(-0.52327920--0.52337507)×1.67213379864695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67213379864695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67213379864695e-05×40589641000000     		ar = 11710.8674358826m²