Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27308 / 7568
↖ ↑ ↗
← N 79.796745°
W 29.992676°		 ← 108.20 m → N 79.796745°
W 29.987183°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 79.795772°
W 29.992676°		 ← 108.21 m →
11 705 m²		 N 79.795772°
W 29.987183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416694641113281 y=0.115486145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416694641113281 × 216)
    floor (0.416694641113281 × 65536)
    floor (27308.5)     		tx = 27308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115486145019531 × 216)
    floor (0.115486145019531 × 65536)
    floor (7568.5)     		ty = 7568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27308 / 7568 ti = "16/27308/7568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27308/7568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27308 ÷ 216
    27308 ÷ 65536     		x = 0.41668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7568 ÷ 216
    7568 ÷ 65536     		y = 0.115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52347094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115478515625 × 2 - 1) × π
    0.76904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52347094} λ = -0.52347094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41601974085083))-π/2
    2×atan(11.2011868434369)-π/2
    2×1.48175612978739-π/2
    2.96351225957478-1.57079632675     		φ = 1.39271593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52347094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.992676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39271593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.796745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27308 KachelY 7568 -0.52347094 1.39271593 -29.992676 79.796745
    Oben rechts KachelX + 1 27309 KachelY 7568 -0.52337507 1.39271593 -29.987183 79.796745
    Unten links KachelX 27308 KachelY + 1 7569 -0.52347094 1.39269895 -29.992676 79.795772
    Unten rechts KachelX + 1 27309 KachelY + 1 7569 -0.52337507 1.39269895 -29.987183 79.795772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39271593-1.39269895) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39271593-1.39269895) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52347094--0.52337507) × cos(1.39271593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177140655228867 × 6371000     		do = 108.195345783576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52347094--0.52337507) × cos(1.39269895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177157366673895 × 6371000     		du = 108.205552929818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39271593)-sin(1.39269895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177140655228867-0.177157366673895)×R²
    abs(-0.52337507--0.52347094)×1.67114450277672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67114450277672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67114450277672e-05×40589641000000     		ar = 11705.0791675034m²