Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27307 / 7569
↖ ↑ ↗
← N 79.795772°
W 29.998169°		 ← 108.22 m → N 79.795772°
W 29.992676°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 79.794799°
W 29.998169°		 ← 108.23 m →
11 714 m²		 N 79.794799°
W 29.992676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416679382324219 y=0.115501403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416679382324219 × 216)
    floor (0.416679382324219 × 65536)
    floor (27307.5)     		tx = 27307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115501403808594 × 216)
    floor (0.115501403808594 × 65536)
    floor (7569.5)     		ty = 7569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27307 / 7569 ti = "16/27307/7569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27307/7569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27307 ÷ 216
    27307 ÷ 65536     		x = 0.416671752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7569 ÷ 216
    7569 ÷ 65536     		y = 0.115493774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416671752929688 × 2 - 1) × π
    -0.166656494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52356682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115493774414062 × 2 - 1) × π
    0.769012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41592386705159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52356682} λ = -0.52356682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41592386705159))-π/2
    2×atan(11.200112994576)-π/2
    2×1.48174763781308-π/2
    2.96349527562616-1.57079632675     		φ = 1.39269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52356682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.998169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.795772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27307 KachelY 7569 -0.52356682 1.39269895 -29.998169 79.795772
    Oben rechts KachelX + 1 27308 KachelY 7569 -0.52347094 1.39269895 -29.992676 79.795772
    Unten links KachelX 27307 KachelY + 1 7570 -0.52356682 1.39268196 -29.998169 79.794799
    Unten rechts KachelX + 1 27308 KachelY + 1 7570 -0.52347094 1.39268196 -29.992676 79.794799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39269895-1.39268196) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39269895-1.39268196) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52356682--0.52347094) × cos(1.39269895) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177157366673895 × 6371000     		do = 108.216839625581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52356682--0.52347094) × cos(1.39268196) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17717408790964 × 6371000     		du = 108.227053817183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39269895)-sin(1.39268196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177157366673895-0.17717408790964)×R²
    abs(-0.52347094--0.52356682)×1.67212357448654e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67212357448654e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67212357448654e-05×40589641000000     		ar = 11714.2995637554m²