Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27306 / 6392
↖ ↑ ↗
← N 80.879796°
W 30.003662°		 ← 96.81 m → N 80.879796°
W 29.998169°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
N 80.878925°
W 30.003662°		 ← 96.82 m →
9 376 m²		 N 80.878925°
W 29.998169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416664123535156 y=0.0975418090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416664123535156 × 216)
    floor (0.416664123535156 × 65536)
    floor (27306.5)     		tx = 27306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0975418090820312 × 216)
    floor (0.0975418090820312 × 65536)
    floor (6392.5)     		ty = 6392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27306 / 6392 ti = "16/27306/6392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27306/6392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27306 ÷ 216
    27306 ÷ 65536     		x = 0.416656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6392 ÷ 216
    6392 ÷ 65536     		y = 0.0975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.16668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52366269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0975341796875 × 2 - 1) × π
    0.804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5287673287572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52366269} λ = -0.52366269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5287673287572))-π/2
    2×atan(12.5380413241303)-π/2
    2×1.49120752795099-π/2
    2.98241505590198-1.57079632675     		φ = 1.41161873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52366269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.003662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41161873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.879796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27306 KachelY 6392 -0.52366269 1.41161873 -30.003662 80.879796
    Oben rechts KachelX + 1 27307 KachelY 6392 -0.52356682 1.41161873 -29.998169 80.879796
    Unten links KachelX 27306 KachelY + 1 6393 -0.52366269 1.41160353 -30.003662 80.878925
    Unten rechts KachelX + 1 27307 KachelY + 1 6393 -0.52356682 1.41160353 -29.998169 80.878925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41161873-1.41160353) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41161873-1.41160353) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52366269--0.52356682) × cos(1.41161873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158506253946558 × 6371000     		do = 96.8136813790698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52366269--0.52356682) × cos(1.41160353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158521261769441 × 6371000     		du = 96.8228479737412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41161873)-sin(1.41160353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158506253946558-0.158521261769441)×R²
    abs(-0.52356682--0.52366269)×1.50078228831063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50078228831063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50078228831063e-05×40589641000000     		ar = 9375.80329708318m²