Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27306 / 21385
↖ ↑ ↗
← N 52.879076°
W 30.003662°		 ← 368.61 m → N 52.879076°
W 29.998169°		 →
↑
368.69 m
↓
↑
368.69 m
↓
N 52.875761°
W 30.003662°		 ← 368.64 m →
135 908 m²		 N 52.875761°
W 29.998169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416664123535156 y=0.326316833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416664123535156 × 216)
    floor (0.416664123535156 × 65536)
    floor (27306.5)     		tx = 27306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326316833496094 × 216)
    floor (0.326316833496094 × 65536)
    floor (21385.5)     		ty = 21385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27306 / 21385 ti = "16/27306/21385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27306/21385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27306 ÷ 216
    27306 ÷ 65536     		x = 0.416656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21385 ÷ 216
    21385 ÷ 65536     		y = 0.326309204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.16668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52366269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326309204101562 × 2 - 1) × π
    0.347381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0913314567502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52366269} λ = -0.52366269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0913314567502))-π/2
    2×atan(2.97823682738683)-π/2
    2×1.24685515619058-π/2
    2.49371031238116-1.57079632675     		φ = 0.92291399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52366269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.003662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92291399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.879076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27306 KachelY 21385 -0.52366269 0.92291399 -30.003662 52.879076
    Oben rechts KachelX + 1 27307 KachelY 21385 -0.52356682 0.92291399 -29.998169 52.879076
    Unten links KachelX 27306 KachelY + 1 21386 -0.52366269 0.92285612 -30.003662 52.875761
    Unten rechts KachelX + 1 27307 KachelY + 1 21386 -0.52356682 0.92285612 -29.998169 52.875761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92291399-0.92285612) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000     		dl = 368.689770000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92291399-0.92285612) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000     		dr = 368.689770000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52366269--0.52356682) × cos(0.92291399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603499212649756 × 6371000     		do = 368.609938291092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52366269--0.52356682) × cos(0.92285612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603545355070349 × 6371000     		du = 368.638121517268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92291399)-sin(0.92285612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603499212649756-0.603545355070349)×R²
    abs(-0.52356682--0.52366269)×4.61424205929761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61424205929761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61424205929761e-05×40589641000000     		ar = 135907.908839466m²