Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27305 / 6391
↖ ↑ ↗
← N 80.880666°
W 30.009156°		 ← 96.81 m → N 80.880666°
W 30.003662°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
N 80.879796°
W 30.009156°		 ← 96.82 m →
9 376 m²		 N 80.879796°
W 30.003662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416648864746094 y=0.0975265502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416648864746094 × 216)
    floor (0.416648864746094 × 65536)
    floor (27305.5)     		tx = 27305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0975265502929688 × 216)
    floor (0.0975265502929688 × 65536)
    floor (6391.5)     		ty = 6391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27305 / 6391 ti = "16/27305/6391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27305/6391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27305 ÷ 216
    27305 ÷ 65536     		x = 0.416641235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6391 ÷ 216
    6391 ÷ 65536     		y = 0.0975189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416641235351562 × 2 - 1) × π
    -0.166717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52375857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0975189208984375 × 2 - 1) × π
    0.804962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52886320255644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52375857} λ = -0.52375857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52886320255644))-π/2
    2×atan(12.5392434514124)-π/2
    2×1.49121512588979-π/2
    2.98243025177958-1.57079632675     		φ = 1.41163393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52375857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.009156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41163393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.880666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27305 KachelY 6391 -0.52375857 1.41163393 -30.009156 80.880666
    Oben rechts KachelX + 1 27306 KachelY 6391 -0.52366269 1.41163393 -30.003662 80.880666
    Unten links KachelX 27305 KachelY + 1 6392 -0.52375857 1.41161873 -30.009156 80.879796
    Unten rechts KachelX + 1 27306 KachelY + 1 6392 -0.52366269 1.41161873 -30.003662 80.879796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41163393-1.41161873) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41163393-1.41161873) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52375857--0.52366269) × cos(1.41163393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158491246087054 × 6371000     		do = 96.8146122393696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52375857--0.52366269) × cos(1.41161873) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158506253946558 × 6371000     		du = 96.8237798125595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41163393)-sin(1.41161873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158491246087054-0.158506253946558)×R²
    abs(-0.52366269--0.52375857)×1.50078595043679e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.50078595043679e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.50078595043679e-05×40589641000000     		ar = 9375.89348778158m²