Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27304 / 7015
↖ ↑ ↗
← N 80.321043°
W 30.014648°		 ← 102.69 m → N 80.321043°
W 30.009156°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 80.320119°
W 30.014648°		 ← 102.70 m →
10 547 m²		 N 80.320119°
W 30.009156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416633605957031 y=0.107048034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416633605957031 × 216)
    floor (0.416633605957031 × 65536)
    floor (27304.5)     		tx = 27304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107048034667969 × 216)
    floor (0.107048034667969 × 65536)
    floor (7015.5)     		ty = 7015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27304 / 7015 ti = "16/27304/7015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27304/7015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27304 ÷ 216
    27304 ÷ 65536     		x = 0.4166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7015 ÷ 216
    7015 ÷ 65536     		y = 0.107040405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107040405273438 × 2 - 1) × π
    0.785919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46903795183061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52385444} λ = -0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46903795183061))-π/2
    2×atan(11.8110785575951)-π/2
    2×1.48633149484246-π/2
    2.97266298968492-1.57079632675     		φ = 1.40186666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40186666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.321043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27304 KachelY 7015 -0.52385444 1.40186666 -30.014648 80.321043
    Oben rechts KachelX + 1 27305 KachelY 7015 -0.52375857 1.40186666 -30.009156 80.321043
    Unten links KachelX 27304 KachelY + 1 7016 -0.52385444 1.40185054 -30.014648 80.320119
    Unten rechts KachelX + 1 27305 KachelY + 1 7016 -0.52375857 1.40185054 -30.009156 80.320119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40186666-1.40185054) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40186666-1.40185054) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52385444--0.52375857) × cos(1.40186666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168127348257193 × 6371000     		do = 102.690128118022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52385444--0.52375857) × cos(1.40185054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168143238771723 × 6371000     		du = 102.699833849956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40186666)-sin(1.40185054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168127348257193-0.168143238771723)×R²
    abs(-0.52375857--0.52385444)×1.58905145299926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58905145299926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58905145299926e-05×40589641000000     		ar = 10546.8279484985m²