Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27304 / 42568
↖ ↑ ↗
← S 47.309034°
W 30.014648°		 ← 414.14 m → S 47.309034°
W 30.009156°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
S 47.312759°
W 30.014648°		 ← 414.11 m →
171 522 m²		 S 47.312759°
W 30.009156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416633605957031 y=0.649543762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416633605957031 × 216)
    floor (0.416633605957031 × 65536)
    floor (27304.5)     		tx = 27304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649543762207031 × 216)
    floor (0.649543762207031 × 65536)
    floor (42568.5)     		ty = 42568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27304 / 42568 ti = "16/27304/42568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27304/42568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27304 ÷ 216
    27304 ÷ 65536     		x = 0.4166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42568 ÷ 216
    42568 ÷ 65536     		y = 0.6495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.939563232553101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52385444} λ = -0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939563232553101))-π/2
    2×atan(0.3907984861455)-π/2
    2×0.372548956625574-π/2
    0.745097913251147-1.57079632675     		φ = -0.82569841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82569841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.309034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27304 KachelY 42568 -0.52385444 -0.82569841 -30.014648 -47.309034
    Oben rechts KachelX + 1 27305 KachelY 42568 -0.52375857 -0.82569841 -30.009156 -47.309034
    Unten links KachelX 27304 KachelY + 1 42569 -0.52385444 -0.82576342 -30.014648 -47.312759
    Unten rechts KachelX + 1 27305 KachelY + 1 42569 -0.52375857 -0.82576342 -30.009156 -47.312759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82569841--0.82576342) × R
    6.5010000000032e-05 × 6371000     		dl = 414.178710000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82569841--0.82576342) × R
    6.5010000000032e-05 × 6371000     		dr = 414.178710000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52385444--0.52375857) × cos(-0.82569841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678043784656874 × 6371000     		do = 414.140851192923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52385444--0.52375857) × cos(-0.82576342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677995999475472 × 6371000     		du = 414.111664588535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82569841)-sin(-0.82576342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678043784656874-0.677995999475472)×R²
    abs(-0.52375857--0.52385444)×4.77851814018049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77851814018049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77851814018049e-05×40589641000000     		ar = 171522.279330648m²