Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27303 / 7018
↖ ↑ ↗
← N 80.318272°
W 30.020141°		 ← 102.72 m → N 80.318272°
W 30.014648°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
N 80.317348°
W 30.020141°		 ← 102.73 m →
10 556 m²		 N 80.317348°
W 30.014648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416618347167969 y=0.107093811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416618347167969 × 216)
    floor (0.416618347167969 × 65536)
    floor (27303.5)     		tx = 27303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107093811035156 × 216)
    floor (0.107093811035156 × 65536)
    floor (7018.5)     		ty = 7018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27303 / 7018 ti = "16/27303/7018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27303/7018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27303 ÷ 216
    27303 ÷ 65536     		x = 0.416610717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7018 ÷ 216
    7018 ÷ 65536     		y = 0.107086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416610717773438 × 2 - 1) × π
    -0.166778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52395031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107086181640625 × 2 - 1) × π
    0.78582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46875033043289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52395031} λ = -0.52395031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46875033043289))-π/2
    2×atan(11.807681927167)-π/2
    2×1.48630731290347-π/2
    2.97261462580695-1.57079632675     		φ = 1.40181830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52395031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.020141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40181830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.318272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27303 KachelY 7018 -0.52395031 1.40181830 -30.020141 80.318272
    Oben rechts KachelX + 1 27304 KachelY 7018 -0.52385444 1.40181830 -30.014648 80.318272
    Unten links KachelX 27303 KachelY + 1 7019 -0.52395031 1.40180217 -30.020141 80.317348
    Unten rechts KachelX + 1 27304 KachelY + 1 7019 -0.52385444 1.40180217 -30.014648 80.317348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40181830-1.40180217) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40181830-1.40180217) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52395031--0.52385444) × cos(1.40181830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168175019669701 × 6371000     		do = 102.71924523376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52395031--0.52385444) × cos(1.40180217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168190919910684 × 6371000     		du = 102.728956906493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40181830)-sin(1.40180217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168175019669701-0.168190919910684)×R²
    abs(-0.52385444--0.52395031)×1.59002409836628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59002409836628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59002409836628e-05×40589641000000     		ar = 10556.3631493071m²