Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27302 / 7014
↖ ↑ ↗
← N 80.321967°
W 30.025635°		 ← 102.69 m → N 80.321967°
W 30.020141°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 80.321043°
W 30.025635°		 ← 102.70 m →
10 547 m²		 N 80.321043°
W 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416603088378906 y=0.107032775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416603088378906 × 216)
    floor (0.416603088378906 × 65536)
    floor (27302.5)     		tx = 27302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107032775878906 × 216)
    floor (0.107032775878906 × 65536)
    floor (7014.5)     		ty = 7014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27302 / 7014 ti = "16/27302/7014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27302/7014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27302 ÷ 216
    27302 ÷ 65536     		x = 0.416595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7014 ÷ 216
    7014 ÷ 65536     		y = 0.107025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.16680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52404619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107025146484375 × 2 - 1) × π
    0.78594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46913382562985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52404619} λ = -0.52404619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46913382562985))-π/2
    2×atan(11.8122109848537)-π/2
    2×1.48633955396531-π/2
    2.97267910793061-1.57079632675     		φ = 1.40188278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52404619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.025635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40188278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.321967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27302 KachelY 7014 -0.52404619 1.40188278 -30.025635 80.321967
    Oben rechts KachelX + 1 27303 KachelY 7014 -0.52395031 1.40188278 -30.020141 80.321967
    Unten links KachelX 27302 KachelY + 1 7015 -0.52404619 1.40186666 -30.025635 80.321043
    Unten rechts KachelX + 1 27303 KachelY + 1 7015 -0.52395031 1.40186666 -30.020141 80.321043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40188278-1.40186666) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40188278-1.40186666) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52404619--0.52395031) × cos(1.40188278) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.168111457698974 × 6371000     		do = 102.691132740308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52404619--0.52395031) × cos(1.40186666) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.168127348257193 × 6371000     		du = 102.700839511314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40188278)-sin(1.40186666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168111457698974-0.168127348257193)×R²
    abs(-0.52395031--0.52404619)×1.58905582186009e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.58905582186009e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.58905582186009e-05×40589641000000     		ar = 10546.9311771492m²