Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27302 / 6371
↖ ↑ ↗
← N 80.898062°
W 30.025635°		 ← 96.63 m → N 80.898062°
W 30.020141°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 80.897193°
W 30.025635°		 ← 96.64 m →
9 340 m²		 N 80.897193°
W 30.020141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416603088378906 y=0.0972213745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416603088378906 × 216)
    floor (0.416603088378906 × 65536)
    floor (27302.5)     		tx = 27302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0972213745117188 × 216)
    floor (0.0972213745117188 × 65536)
    floor (6371.5)     		ty = 6371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27302 / 6371 ti = "16/27302/6371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27302/6371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27302 ÷ 216
    27302 ÷ 65536     		x = 0.416595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6371 ÷ 216
    6371 ÷ 65536     		y = 0.0972137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.16680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52404619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0972137451171875 × 2 - 1) × π
    0.805572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53078067854124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52404619} λ = -0.52404619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53078067854124))-π/2
    2×atan(12.5633102159457)-π/2
    2×1.49136693372163-π/2
    2.98273386744326-1.57079632675     		φ = 1.41193754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52404619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.025635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41193754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.898062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27302 KachelY 6371 -0.52404619 1.41193754 -30.025635 80.898062
    Oben rechts KachelX + 1 27303 KachelY 6371 -0.52395031 1.41193754 -30.020141 80.898062
    Unten links KachelX 27302 KachelY + 1 6372 -0.52404619 1.41192237 -30.025635 80.897193
    Unten rechts KachelX + 1 27303 KachelY + 1 6372 -0.52395031 1.41192237 -30.020141 80.897193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41193754-1.41192237) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41193754-1.41192237) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52404619--0.52395031) × cos(1.41193754) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158191466301146 × 6371000     		do = 96.6314913133619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52404619--0.52395031) × cos(1.41192237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158206445269229 × 6371000     		du = 96.6406412381839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41193754)-sin(1.41192237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158191466301146-0.158206445269229)×R²
    abs(-0.52395031--0.52404619)×1.49789680824186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49789680824186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49789680824186e-05×40589641000000     		ar = 9339.68929813241m²