Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27301 / 7014
↖ ↑ ↗
← N 80.321967°
W 30.031128°		 ← 102.68 m → N 80.321967°
W 30.025635°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 80.321043°
W 30.031128°		 ← 102.69 m →
10 546 m²		 N 80.321043°
W 30.025635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416587829589844 y=0.107032775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416587829589844 × 216)
    floor (0.416587829589844 × 65536)
    floor (27301.5)     		tx = 27301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107032775878906 × 216)
    floor (0.107032775878906 × 65536)
    floor (7014.5)     		ty = 7014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27301 / 7014 ti = "16/27301/7014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27301/7014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27301 ÷ 216
    27301 ÷ 65536     		x = 0.416580200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7014 ÷ 216
    7014 ÷ 65536     		y = 0.107025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416580200195312 × 2 - 1) × π
    -0.166839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52414206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107025146484375 × 2 - 1) × π
    0.78594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46913382562985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52414206} λ = -0.52414206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46913382562985))-π/2
    2×atan(11.8122109848537)-π/2
    2×1.48633955396531-π/2
    2.97267910793061-1.57079632675     		φ = 1.40188278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52414206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.031128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40188278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.321967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27301 KachelY 7014 -0.52414206 1.40188278 -30.031128 80.321967
    Oben rechts KachelX + 1 27302 KachelY 7014 -0.52404619 1.40188278 -30.025635 80.321967
    Unten links KachelX 27301 KachelY + 1 7015 -0.52414206 1.40186666 -30.031128 80.321043
    Unten rechts KachelX + 1 27302 KachelY + 1 7015 -0.52404619 1.40186666 -30.025635 80.321043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40188278-1.40186666) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40188278-1.40186666) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52414206--0.52404619) × cos(1.40188278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168111457698974 × 6371000     		do = 102.680422359404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52414206--0.52404619) × cos(1.40186666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168127348257193 × 6371000     		du = 102.690128118022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40188278)-sin(1.40186666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168111457698974-0.168127348257193)×R²
    abs(-0.52404619--0.52414206)×1.58905582186009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58905582186009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58905582186009e-05×40589641000000     		ar = 10545.8311634745m²