Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27296 / 7004
↖ ↑ ↗
← N 80.331197°
W 30.058594°		 ← 102.58 m → N 80.331197°
W 30.053101°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 80.330275°
W 30.058594°		 ← 102.59 m →
10 523 m²		 N 80.330275°
W 30.053101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416511535644531 y=0.106880187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416511535644531 × 216)
    floor (0.416511535644531 × 65536)
    floor (27296.5)     		tx = 27296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106880187988281 × 216)
    floor (0.106880187988281 × 65536)
    floor (7004.5)     		ty = 7004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27296 / 7004 ti = "16/27296/7004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27296/7004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27296 ÷ 216
    27296 ÷ 65536     		x = 0.41650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7004 ÷ 216
    7004 ÷ 65536     		y = 0.10687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10687255859375 × 2 - 1) × π
    0.7862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47009256362225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52462143} λ = -0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47009256362225))-π/2
    2×atan(11.8235412307999)-π/2
    2×1.48642010331583-π/2
    2.97284020663166-1.57079632675     		φ = 1.40204388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40204388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.331197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27296 KachelY 7004 -0.52462143 1.40204388 -30.058594 80.331197
    Oben rechts KachelX + 1 27297 KachelY 7004 -0.52452556 1.40204388 -30.053101 80.331197
    Unten links KachelX 27296 KachelY + 1 7005 -0.52462143 1.40202778 -30.058594 80.330275
    Unten rechts KachelX + 1 27297 KachelY + 1 7005 -0.52452556 1.40202778 -30.053101 80.330275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40204388-1.40202778) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40204388-1.40202778) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52462143--0.52452556) × cos(1.40204388) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.167952648294329 × 6371000     		do = 102.583423517404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52462143--0.52452556) × cos(1.40202778) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.167968519573088 × 6371000     		du = 102.593117500365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40204388)-sin(1.40202778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167952648294329-0.167968519573088)×R²
    abs(-0.52452556--0.52462143)×1.58712787598214e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.58712787598214e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.58712787598214e-05×40589641000000     		ar = 10522.7969299161m²